Symetryczna moneta

[Benny01]

Rzucono niezależnie \(\displaystyle{ 16}\) razy symetryczną monetą. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że uzyskano \(\displaystyle{ 7}\) serii, jeśli wiadomo, że uzyskano \(\displaystyle{ 10}\) orłów i \(\displaystyle{ 6}\) reszek.
(Seria: np. w ciągu \(\displaystyle{ aaabbbbaabbbba}\) jest \(\displaystyle{ 5}\) serii, \(\displaystyle{ 3}\) z \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ 2}\) z \(\displaystyle{ b}\)).

[Gouranga]

wszystkich układów jest oczywiście \(\displaystyle{ 2^{16}}\)
wiedząc, że ma być \(\displaystyle{ 7}\) serii, możemy obliczyć ile jest takich układów, pamiętając o tym, że każda seria może mieć minimum jedno wystąpienie, maksimum 10 (bo skoro jest 16 rzutów, zakładając 6 serii po 1, najdłuższa zostaje długości 10)

można stąd ruszyć w dwie strony
po pierwsze metodą separatorów, mamy:
\(\displaystyle{ {15 \choose 6} = 5005}\) możliwych układów, trzeba to pomnożyć przez \(\displaystyle{ 2}\) bo pierwsza seria może być od orła albo od reszki, więc mamy \(\displaystyle{ 10010}\)

można też ruszyć funkcją generującą:
\(\displaystyle{ \left(z^1 + z^2 + z^3 + z^4 + z^5 + z^6 + z^7 + z^8 + z^9 +z^{10} \right) ^7 \quad \left[z^{16}\right]}\)
po rozwinięciu tej funkcji mamy taki fragment:
\(\displaystyle{ \ldots + 1716z^{14} + 3003z^{15} + 5005z^{16} + 8001z^{17} + 12327z^{18} + \ldots}\)
widać więc, że współczynnik przy \(\displaystyle{ z^{16}}\) to \(\displaystyle{ 5005}\), podobnie jak wyżej, mnożymy dla dwóch opcji zaczęcia rzutów

prawdopodobieństwo, że będzie 7 serii jest więc równe \(\displaystyle{ \frac{10010}{2^{16}}}\)

[Benny01]

po pierwsze metodą separatorów, mamy:
\(\displaystyle{ {15 \choose 6} = 5005}\) możliwych układów, trzeba to pomnożyć przez \(\displaystyle{ 2}\) bo pierwsza seria może być od orła albo od reszki, więc mamy \(\displaystyle{ 10010}\)

Dlaczego tak?
Mój pomysł był taki.
Mam \(\displaystyle{ ORORORO}\) lub \(\displaystyle{ ROROROR}\)
W pierwszym przypadku mam wykorzystane 4 orły, więc zostaje jeszcze 6 na 4 miejsca czyli \(\displaystyle{ 4^6}\) i 3 reszki na 3 miejsca czyli \(\displaystyle{ 3^3}\), łącznie \(\displaystyle{ 4^6*3^3}\).
W drugim przypadku będzie \(\displaystyle{ 3^7*4^2}\).
Teraz to sumujemy i dzielimy przez wszystkie możliwości.
Co jest złego w tym rozumowaniu?

[Gouranga]

Bo nie wiesz ile będzie orłów a ile reszek.
A \(\displaystyle{ {15 \choose 6}}\) jest proste, mamy 6 elementów, które będą separatorami, w postaci \(\displaystyle{ x|}\), do tego jeden element na koniec i zostaje nam 9 elementów "luzem"
mamy więc \(\displaystyle{ 9+6=15}\) miejsc (separatory + te luzem), wybieramy 6 z 15 miejsc pod separatory, resztę zapełniamy elementami i wstawiamy jeden na koniec

[Benny01]

Bo nie wiesz ile będzie orłów a ile reszek.

jeśli wiadomo, że uzyskano \(\displaystyle{ 10}\) orłów i \(\displaystyle{ 6}\) reszek.

[Gouranga]

no ale skąd wiesz, że mając \(\displaystyle{ ORORORO}\) do tych 4 orłów dojdąjeszcze 3,4, czy 6? a może dojdzie jeszcze 9?

[Benny01]

Skoro mam 10 orłów to dojdzie jeszcze 6. Czyże nie?

[Gouranga]

Ale nie wiesz, czy orłów będzie 10, na razie masz rozpisane 4 orły + 3 reszki, dałem ci dwa skuteczne rozwiązania