Funkcja gęstości względem miary Lebesgue'a

[Bursztyncio]

Witam!

Mam problem z zadaniem o takiej treści:

Wyznacz \(\displaystyle{ a}\) tak aby funkcja była gęstością rozkładu prawdopodobieństwa względem miary Lebesgue'a.

\(\displaystyle{ f(x) = \begin{cases} a \sin x &\text{dla }x\in \left( 0, \frac{\pi}{2}\right)\\0 &\text{dla } x\not\in \left( 0,\frac{\pi}{2}\right) \end{cases}}\)

Czy wystarczy obliczyć całkę od \(\displaystyle{ -\infty}\) do \(\displaystyle{ + \infty}\) z funkcji gęstości (ma ona być \(\displaystyle{ 1}\))? Bo nurtuje mnie "względem miary Lebesgue'a". (bo niestety niezbyt rozumiem to pojęcie :/ )

[Premislav]

Na pewno dobrze przepisane? Funkcja sinus nie ma stałego znaku na przedziale \(\displaystyle{ (0,2\pi)}\), więc takie \(\displaystyle{ a}\) nie istnieje, bo gęstość musi być nieujemna (i oczywiście całkować się do \(\displaystyle{ 1}\)).

[Bursztyncio]

Och, no racja, chciałem wymyślić jakiś przykład i nie pomyślałem :/ Niech \(\displaystyle{ x \in \left( 0, \frac{\pi}{2} \right)}\)

[Premislav]

No to ponieważ sinus jest w tym przedziale dodatni, więc znajdujesz taką stałą \(\displaystyle{ a}\) dodatnią, że
\(\displaystyle{ \int_{0}^{\frac \pi 2}a \sin x \,\dd x=1}\)
Gęstość rozkładu, który nazywamy ciągłym (nie dodając zwykle, że chodzi o absolutnie ciągły względem miary Lebesgue'a właśnie) to pochodna Radona-Nikodyma tego rozkładu względem miary Lebesgue'a.
(jest to dla mnie super nieintuicyjne pojęcie, bom bardzo słaby z teorii miary, więc go tu nie wytłumaczę). Popatrz w skryptach albo chociaż

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Twierdzenie_Radona-Nikod%C3%BDma

jeśli masz to rozumieć, a jeśli jesteś na kierunku technicznym, to raczej nie musisz się tym przejmować za bardzo.

[Bursztyncio]

Dziękuję bardzo