nierówność z nutką RP

[Elek112]

Mam do udowodnienia coś takiego:

\(\displaystyle{ \frac{x}{1+x^2}e^{- \frac{1}{2}x^2 } \le \sqrt{2 \pi } P[\xi > x] \le \frac{1}{x} e^{- \frac{1}{2}x^2 }}\)

Nie wiem za bardzo co mam zrobić z tym \(\displaystyle{ P[\xi > x]}\) innymi słowy jak to zadanie sprowadzić do zwykłej analizy?

[Premislav]

Czym jest \(\displaystyle{ \xi}\)? Domyślam się, że to jakaś zmienna losowa, ale nie wiem jaka.-- 24 kwi 2017, o 23:47 --Forma nierówności sugeruje, że chodzi o zmienną o standardowym rozkładzie normalnym, ale explicite tego nie napisałeś/nie podano.

[Elek112]

\(\displaystyle{ \xi}\) ma rozkład \(\displaystyle{ N(0,1)}\) a nierówność udowodnić trzeba dla \(\displaystyle{ x>0}\) zapomniałem dodać

[Premislav]

Jeżeli \(\displaystyle{ S(x)=P[\xi > x]}\), to mamy
\(\displaystyle{ S'(x)=- \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}}}\) (czyli minus funkcja gęstości rozkładu normalnego).
Można zatem obie nierówności załatwić, rozważając odpowiednie funkcje.
Np. lewa nierówność: rozważmy funkcję pomocniczą
\(\displaystyle{ g(x)=\frac{x}{1+x^2}e^{- \frac{1}{2}x^2 } - \sqrt{2 \pi } P[\xi > x]}\).
Jest \(\displaystyle{ g(0)=- \sqrt{ \frac{\pi}{2} }<0}\), \(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty }g(x)=0}\)
oraz \(\displaystyle{ g'(x)=\left( \frac{1-x^2}{(1+x^2)^2}- \frac{x^2}{1+x^2} +1\right)e^{-\frac{x^2}{2}}>0}\) (trzeba pokazać nieujemność zawartości dużego nawiasu, ale po sprowadzeniu do wspólnego mianownika to jest trywiał) dla \(\displaystyle{ x>0}\). Czyli funkcja \(\displaystyle{ g}\) rośnie do zera, a więc jest ujemna w \(\displaystyle{ (0,\infty)}\).

Inna opcja, o jakiej pomyślałem to napisanie tego prawdopodobieństwa jako całki i zastosowanie jakichś całkowych twierdzeń o wartości średniej, ale tak chyba nie umiem.-- 25 kwi 2017, o 00:06 --Jeżeli nie wiesz, skąd mi się wziął ten wzór z pochodną \(\displaystyle{ P[X >\xi]}\), to przypomnij sobie związek między dystrybuantą rozkładu absolutnie ciągłego a gęstością