Rozkład poissona bez uzycia pochodnych

[Nitas123]

Pilnie potrzebuję odpowiedzi jak wykazać podaną zależność, bez uzycia pochodnych
\(\displaystyle{ EX^2 = \sum_k k^2 \cdot P(X=k) = \sum_{k=0}^{\infty} k^2 e^{-\lambda} \frac{\lambda^k}{k!} = \lambda e^{-\lambda} \sum_{k=1}^{\infty} k^2 \frac{\lambda^{k-1}}{k!} = \lambda e^{-\lambda} \sum_{k=1}^{\infty} k \frac{\lambda^{k-1}}{(k-1)!} = \\ \\ = \lambda e^{-\lambda} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{d}{d \lambda} \left(\frac{\lambda^k}{(k-1)!}\right) = \lambda e^{-\lambda} \frac{d}{d \lambda} \left( \sum_{k=1}^{\infty} \frac{\lambda^k}{(k-1)!}\right) = \lambda e^{-\lambda} \frac{d}{d \lambda} \left( \lambda \sum_{k=1}^{\infty} \frac{\lambda^{k-1}}{(k-1)!}\right) = \\ \\ = \lambda e^{-\lambda} \frac{d}{d \lambda} \left( \lambda \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\lambda^k}{k!}\right) = \lambda e^{-\lambda} \frac{d}{d \lambda} \left( \lambda e^{\lambda} \right) = \lambda e^{-\lambda} \left( e^{\lambda}+ \lambda e^{\lambda} \right) = \lambda+\lambda^2}\)

[Cytryn]

Może w oparciu o

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Wz%C3%B3r

... 5%84skiego?

[Nitas123]

A dałoby się to troche wyjaśnić?

[Premislav]

Nie znam tego wzoru, ale rozwiązanie tego zadania nie powinno być bardzo trudne. Kluczowe przekształcenie:
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{ \infty }k^2 \frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!}=e^{-\lambda} \sum_{k=1}^{ \infty } \frac{k\lambda^k}{(k-1)!}=e^{-\lambda} \sum_{k=1}^{ \infty } \frac{(k-1+1)\lambda^k}{(k-1)!}=\\=e^{-\lambda}\left( \sum_{k=2}^{ \infty } \frac{\lambda^k}{(k-2)!}+ \sum_{k=1}^{ \infty } \frac{\lambda^k}{(k-1)!} \right)}\)
i przekształć tak, by skorzystać z \(\displaystyle{ e^x= \sum_{k=0}^{ \infty } \frac{x^k}{k!}}\)

EDIT: sorry, poprawiam jedną rzecz (a raczej usuwam).