Czy podany ciąg jest rozkładem prawdopodobieństwa?

[desperate]

Niech
\(\displaystyle{ P(X=n) = p_{n} = \frac{1}{n(n+1)}, n \ge 1}\)
Czy ciąg \(\displaystyle{ p_{n}}\) jest rozkładem prawdopodobieństwa dla X? Znajdź P(\(\displaystyle{ X \ge m}\)) dla dowolnego m oraz E(X).

halph

[Premislav]

Wskazówka:
\(\displaystyle{ \frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} -\frac{1}{n+1}}\)
Stąd można sobie wyprowadzić, że

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{n(n+1)}=1\\ \mathbf{P}(X \ge m)= \sum_{n=m}^{ \infty } \frac{1}{n(n+1)}=\frac 1 m \text{ dla } m \in \NN^+}\)
A wartość oczekiwana takiej zmiennej losowej nie istnieje, bo szereg harmoniczny jest rozbieżny.-- 24 kwi 2017, o 17:32 --Oczywiście jeśli "dla każdego \(\displaystyle{ m}\)" rozumieć jako "dla każdego \(\displaystyle{ m}\) rzeczywistego", to mamy taką funkcję skokową. Tam powyżej przyjąłem, że \(\displaystyle{ m \in \NN^+}\). Ogólniej:
\(\displaystyle{ \mathbf{P}(X \ge m)= \begin{cases} 1 \text{ dla }m \in (-\infty,1) \\ \frac{1}{\lceil m\rceil} \text{ dla } m \ge 1 \end{cases}}\)

[desperate]

\(\displaystyle{ \mathbf{P}(X \ge m)= \sum_{n=m}^{ \infty } \frac{1}{n(n+1)}=\frac 1 m \text{ dla } m \in \NN^+}\)

Dzięki za pomoc, pierwszą część zadania zrozumiałam, ale tego nie do końca..?

[Premislav]

Co "nie do końca"?
Niech \(\displaystyle{ M>m \in \NN}\). Wówczas
\(\displaystyle{ \mathbf{P}(m \le X \le M)=\sum_{n=m}^{M} \frac{1}{n(n+1)} = \sum_{n=m}^{M}\left( \frac{1}{n}- \frac{1}{n+1} \right)=\frac{1}{m}-\frac{1}{M+1}}\)
Przechodząc z \(\displaystyle{ M}\) do \(\displaystyle{ \infty}\), mamy \(\displaystyle{ \mathbf{P}(X \ge m)= \frac{1}{m}}\)

[desperate]

Okej już wszystko jasne, dzięki