Prawdopodobieństwo liczb naturalnych

[Benny01]

Niech \(\displaystyle{ A_k}\) będzie zbiorem liczb naturalnych podzielnych przez k. Wykazać, że na \(\displaystyle{ \\N}\) nie istnieje takie prawdopodobieństwo \(\displaystyle{ P}\), że \(\displaystyle{ P(A_k)=\frac{1}{k}}\) dla \(\displaystyle{ k \ge 1}\).

[szw1710]

Wskazówka: szereg harmoniczny jest rozbieżny.

[Benny01]

Ma się rozumieć, lecz nie mogę tak po prostu zsumować, bo zdarzenia nie są rozłączne.

[szw1710]

A co wyniknie z takiego urozłącznienia: \(\displaystyle{ A_1,A_2\setminus A_1,A_3\setminus A_2,\dots?}\) Można ciąg \(\displaystyle{ (A_n)}\) urozłączniać też na inne sposoby. Albo robić z niego ciąg wstępujący albo zstępujący. Dla zstępującego prawdopodobieństwo części wspólnej to (z własności miary) granica ciągu prawdopodobieństw.

To pewne sugestie.

[Premislav]

Ja pomyślałem tak: załóżmy nie wprost, że takie prawdopodobieństwo istnieje i zauważmy, że wówczas jeśli \(\displaystyle{ \NWD(m,n)=1}\), to \(\displaystyle{ \mathbf{P}(A_m \cap A_n)= \frac{1}{mn} =\mathbf{P}(A_m)\mathbf{P}(A_n)}\), więc zdarzenia \(\displaystyle{ A_m}\) i \(\displaystyle{ A_n}\) są niezależne.
Niech \(\displaystyle{ (p_k)}\) oznacza ciąg wszystkich liczb pierwszych (parami różnych). \(\displaystyle{ A_{p_k}}\) i \(\displaystyle{ A_{p_l}}\)niezależne dla \(\displaystyle{ k \neq l}\). Mamy
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{ \infty }\mathbf{P}(A_{p_k})= \sum_{k=1}^{ \infty } \frac{1}{p_k}}\)
a ten szereg jest rozbieżny (nieskończenie znany fakt), zatem na mocy drugiego lematu Borela-Cantelliego mamy
\(\displaystyle{ \mathbf{P}( \bigcap_{n=1}^{ \infty } \bigcup_{k=n}^{ \infty }A_{p_k})=1}\),
co jest absurdem.

[Benny01]

Czym \(\displaystyle{ \mathbf{P}( \bigcap_{n=1}^{ \infty } \bigcup_{k=n}^{ \infty }A_{p_k})=1}\) różni się od \(\displaystyle{ \mathbf{P}(\lim \sup A_n)=1}\), bo ja mam taki zapis z wykładów.

[Premislav]

\(\displaystyle{ \mathbf{P}( \bigcap_{n=1}^{ \infty } \bigcup_{k=n}^{ \infty }A_{p_k})=1}\)
niczym się nie różni od \(\displaystyle{ \mathbf{P}(\limsup A_{p_n})=1}\)

[Benny01]

To jak czytać oba zapisy?

[Premislav]

Jest to prawdopodobieństwo zajścia nieskończenie wielu spośród zdarzeń \(\displaystyle{ A_{p_n}}\).

[Benny01]

Trochę nie ogarniam tych nieskończoności. Przecinamy ze sobą coraz mniej zbiorów, a i tak dostajemy ich nieskończenie wiele?

[Premislav]

Miałeś zapewne taki przedmiot: Wstęp do Matematyki. Albo taki: Logika i Teoria Mnogości (różnica w sumie zapewne tylko w nazwie). Więc bez żartów mje tu.

Co to znaczy, że jakiś \(\displaystyle{ x}\) należy do nieskończenie wielu spośród zbiorów \(\displaystyle{ A_n}\) (ponumerowanych kolejnymi liczbami naturalnymi)? To znaczy, że dla każdego \(\displaystyle{ k \in \NN}\) znajdziemy takie \(\displaystyle{ n>k}\), że \(\displaystyle{ x \in A_n}\). A więc
\(\displaystyle{ x \in \bigcap_{k=1}^{ +\infty } \bigcup_{n=k}^{+\infty} A_n}\)

[Benny01]

Ok, raczej jest już jasne.