1. Narysować histogram i dystrybuantę zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\), dla której \(\displaystyle{ P(X=0)=\frac{1}{10}, P(X=1)=\frac{9}{10}}\).
2. Prawdopodobieństwo trafienia do celu w jednym strzale jest \(\displaystyle{ p=\frac13}\). Niech \(\displaystyle{ X_5}\) oznacza liczbę strzałów celnych w wykonanej serii \(\displaystyle{ 5}\) niezależnych strzałów. Znaleźć rozkład zmiennej losowej \(\displaystyle{ X_5}\). Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że liczba strzałów celnych będzie nie mniejsza od \(\displaystyle{ 2}\).
3. Zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\) ma rozkład a) dwumianowy, b) Poissona. Znaleźć najbardziej prawdopodobną wartość \(\displaystyle{ X}\).
4. Zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\) przyjmuje wartości \(\displaystyle{ 1,2,3,4,5}\), każdą z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ \frac13}\). Sporządzić wykres dystrybuanty .
5. Po określonej trasie jeździ \(\displaystyle{ n=5}\) autobusów. Awarie poszczególnych autobusów są zdarzeniami niezależnymi i prawdopodobieństwo awarii każdego z autobusów w ciągu określonego czasu jest \(\displaystyle{ 0,2}\). Niech \(\displaystyle{ X}\) oznacza liczbę autobusów, które w ciągu rozważanego czasu uległy awarii (autobus który uległ awarii nie jest naprawiany). Znaleźć rozkład zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\) i dystrybuantę \(\displaystyle{ F}\). Obliczyć \(\displaystyle{ F(0), F(1), F(2)}\).
Byłbym wdzięczny gdyby ktoś pomógł.
rozkład, gęstość, dystrybuanta
-
aogpae
- Użytkownik
- Posty: 3
- Rejestracja: 21 kwie 2017, o 15:17
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: polska
- Podziękował: 1 raz
rozkład, gęstość, dystrybuanta
Ostatnio zmieniony 21 kwie 2017, o 22:49 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm . W języku polskim zdanie rozpoczynamy od dużej litery.
Powód: Brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm . W języku polskim zdanie rozpoczynamy od dużej litery.
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5220 razy
rozkład, gęstość, dystrybuanta
Jakieś histogramy itd. są nudne, przecież to można wyklikać z rozwijanej listy w jakimś Excelu czy innym gnumericu.
Zadanie 3.
W podpunkcie a) masz dla zmiennej losowej \(\displaystyle{ X \sim B(n,p)}\) co następuje:
\(\displaystyle{ \mathbf{P}(X=k)={n \choose k}p^k(1-p)^{n-k}, k=0,1,2\dots n}\)
gdzie \(\displaystyle{ p \in (0,1)}\) i \(\displaystyle{ n \in \NN}\) jest ustalone.
Mamy \(\displaystyle{ \frac{\mathbf{P}(X=k+1)}{\mathbf{P}(X=k)}= \frac{{n \choose k+1}p^{k+1}(1-p)^{n-k-1}}{{n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k}}= \frac{n-k}{k+1} \frac{p}{1-p}}\)
dla \(\displaystyle{ k=0,1\dots n-1}\)
Rozwiązujemy więc nierówność
\(\displaystyle{ \frac{n-k}{k+1} \frac{p}{1-p}>1}\) ze względu na \(\displaystyle{ k.}\)
Po wymnożeniu przez mianownik (który jest dodatni) mamy:
\(\displaystyle{ np-kp>k(1-p)+1-p}\)
czyli \(\displaystyle{ k<p(n+1)-1}\)
Stąd najbardziej prawdopodobną wartością \(\displaystyle{ X}\) będzie \(\displaystyle{ k=\lceil p(n+1)-1\rceil}\)
(sufit liczby).
W podpunkcie b) masz dla zmiennej losowej \(\displaystyle{ X \sim \mathrm{Pois}(\lambda)}\) co następuje:
\(\displaystyle{ \mathbf{P}(X=k)=e^{-\lambda} \frac{\lambda^k}{k!}, \lambda>0}\) ustalone, \(\displaystyle{ k=0,1,2\dots}\)
Tj. możesz rozważyć ciąg \(\displaystyle{ p_k=e^{-\lambda} \frac{\lambda^k}{k!}}\), wszystkie jego wyrazy są dodatnie, ponadto \(\displaystyle{ \frac{p_{k+1}}{p_k}= \frac{\lambda}{k+1}}\)
czyli ten ciąg rośnie, dopóki \(\displaystyle{ \lambda>k+1}\), maleje gdy \(\displaystyle{ \lambda<k+1}\).
Stąd największy jego wyraz to \(\displaystyle{ p_{\lfloor \lambda \rfloor}=\mathbf{P}(X=\lfloor \lambda \rfloor)}\),
gdzie \(\displaystyle{ \lfloor \lambda \rfloor}\) to podłoga z \(\displaystyle{ \lambda}\). Czyli \(\displaystyle{ \lfloor \lambda \rfloor}\) to najbardziej prawdopodobna wartość \(\displaystyle{ X}\) (dla zmiennych dyskretnych to jest dominanta).
Zadanie 3.
W podpunkcie a) masz dla zmiennej losowej \(\displaystyle{ X \sim B(n,p)}\) co następuje:
\(\displaystyle{ \mathbf{P}(X=k)={n \choose k}p^k(1-p)^{n-k}, k=0,1,2\dots n}\)
gdzie \(\displaystyle{ p \in (0,1)}\) i \(\displaystyle{ n \in \NN}\) jest ustalone.
Mamy \(\displaystyle{ \frac{\mathbf{P}(X=k+1)}{\mathbf{P}(X=k)}= \frac{{n \choose k+1}p^{k+1}(1-p)^{n-k-1}}{{n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k}}= \frac{n-k}{k+1} \frac{p}{1-p}}\)
dla \(\displaystyle{ k=0,1\dots n-1}\)
Rozwiązujemy więc nierówność
\(\displaystyle{ \frac{n-k}{k+1} \frac{p}{1-p}>1}\) ze względu na \(\displaystyle{ k.}\)
Po wymnożeniu przez mianownik (który jest dodatni) mamy:
\(\displaystyle{ np-kp>k(1-p)+1-p}\)
czyli \(\displaystyle{ k<p(n+1)-1}\)
Stąd najbardziej prawdopodobną wartością \(\displaystyle{ X}\) będzie \(\displaystyle{ k=\lceil p(n+1)-1\rceil}\)
(sufit liczby).
W podpunkcie b) masz dla zmiennej losowej \(\displaystyle{ X \sim \mathrm{Pois}(\lambda)}\) co następuje:
\(\displaystyle{ \mathbf{P}(X=k)=e^{-\lambda} \frac{\lambda^k}{k!}, \lambda>0}\) ustalone, \(\displaystyle{ k=0,1,2\dots}\)
Tj. możesz rozważyć ciąg \(\displaystyle{ p_k=e^{-\lambda} \frac{\lambda^k}{k!}}\), wszystkie jego wyrazy są dodatnie, ponadto \(\displaystyle{ \frac{p_{k+1}}{p_k}= \frac{\lambda}{k+1}}\)
czyli ten ciąg rośnie, dopóki \(\displaystyle{ \lambda>k+1}\), maleje gdy \(\displaystyle{ \lambda<k+1}\).
Stąd największy jego wyraz to \(\displaystyle{ p_{\lfloor \lambda \rfloor}=\mathbf{P}(X=\lfloor \lambda \rfloor)}\),
gdzie \(\displaystyle{ \lfloor \lambda \rfloor}\) to podłoga z \(\displaystyle{ \lambda}\). Czyli \(\displaystyle{ \lfloor \lambda \rfloor}\) to najbardziej prawdopodobna wartość \(\displaystyle{ X}\) (dla zmiennych dyskretnych to jest dominanta).
-
aogpae
- Użytkownik
- Posty: 3
- Rejestracja: 21 kwie 2017, o 15:17
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: polska
- Podziękował: 1 raz
rozkład, gęstość, dystrybuanta
dzięki za pomoc. niestety nie mam możliwości zrobienia tego w excelu. to są zadania na kolokwium. czy ktoś umie zrobić jeszcze jakieś zadanie?
-
miodzio1988
-
aogpae
- Użytkownik
- Posty: 3
- Rejestracja: 21 kwie 2017, o 15:17
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: polska
- Podziękował: 1 raz
rozkład, gęstość, dystrybuanta
Zadania pierwszego nawet nie ruszyłem. Na zajęciach nie miałem tego typu zadań. Na internecie też nie mogę nic takiego znaleźć, tj. liczenia dystrybuanty mając dane P(X). Natomiast próbowałem rozwiązać 2 i wymyśliłem, żeby policzyc P(A') - prawdopodobieństwo, że trafimy co najwyżej raz,a potem odjąć to od 1 i wtedy wyjdzie nam prawdopodobieństwo trafienia dwa lub więcej razy. Nie mam pojęcia jak liczyć te dystrybuanty za to.
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5220 razy
rozkład, gęstość, dystrybuanta
2. Poczytaj o rozkładzie dwumianowym:
Tu będziesz mieć rozkład dwumianowy z parametrami \(\displaystyle{ p=frac 1 3, n=5}\).
Co do dystrybuant: poczytaj o tym, co to w ogóle jest dystrybuanta i powinno pomóc. Nie oczekujesz chyba, że zrobimy Ci tutaj wykład. Zobacz np. tutaj: 291171.htm
Kod: Zaznacz cały
https://pl.wikipedia.org/wiki/Rozk%C5%82ad_dwumianowyTu będziesz mieć rozkład dwumianowy z parametrami \(\displaystyle{ p=frac 1 3, n=5}\).
Co do dystrybuant: poczytaj o tym, co to w ogóle jest dystrybuanta i powinno pomóc. Nie oczekujesz chyba, że zrobimy Ci tutaj wykład. Zobacz np. tutaj: 291171.htm