Rzut 10 kośćmi, prawdopodobieństwo warunkowe.

[aga285]

Wiadomo, że rzut \(\displaystyle{ 10}\) kośćmi dał na co najmniej jednej z nich jedno oczko. Jakie jest prawdopodobieństwo, że zaszło to na dwóch lub więcej kościach?

\(\displaystyle{ A}\)- zdarzenie polegające na wyrzuceniu jednego oczka na co najmniej dwóch kościach podczas rzutu \(\displaystyle{ 10}\) kośćmi
\(\displaystyle{ A'}\)- jedno oczko na żadnej lub na jednej kości
\(\displaystyle{ B}\)- zdarzenie polegające na wyrzuceniu jednego oczka na co najmniej jednej kości podczas rzutu \(\displaystyle{ 10}\) kośćmi
\(\displaystyle{ B'}\)- nie wyrzuciliśmy jednego oczka na żadnej z \(\displaystyle{ 10}\) kości

Szukam \(\displaystyle{ P \left( A|B \right) = \frac{P \left( A\cap B \right) }{P \left( B \right) }}\).

\(\displaystyle{ P \left( B' \right) = \left( \frac{5}{6} \right) ^{10}}\), czyli \(\displaystyle{ P \left( B \right) = \frac{6^{10}-5^{10}}{6^{10}}}\)

I teraz \(\displaystyle{ P \left( A\cap B \right) =P \left( A \right) =1-P \left( A' \right)}\) ? Tu właśnie nie wiem.
Jeśli tak, to (tego prawdopodobieństwa nie jestem pewna) \(\displaystyle{ P \left( A' \right) = \left( \frac{5}{6} \right) ^{10} + 10 \cdot \frac{1}{6} \left( \frac{5}{6} \right) ^{9}}\), czyli \(\displaystyle{ P \left( A\cap B \right) = \frac{6^{10}-3 \cdot 5^{10}}{6^{10}}}\)

Wytłumaczę jak widzę ten drugi składnik sumy: \(\displaystyle{ 10}\), bo na \(\displaystyle{ 10}\) sposobów można wybrać kostkę z jedynką i ona ma prawdopodobieństwo \(\displaystyle{ \frac16}\), a resztę dowolnie- oprócz jedynki. Chociaż coś czuję, że to jest źle

Czyli
\(\displaystyle{ P \left( A|B \right) = \frac{P \left( A\cap B \right) }{P \left( B \right) } = \frac{6^{10}-3 \cdot 5^{10}}{6^{10}-5^{10}}}\)

A odpowiedzią jest
\(\displaystyle{ P \left( A|B \right) = \frac{P \left( A\cap B \right) }{P \left( B \right) } = \frac{1-10 \cdot 5^{9}}{6^{10}-5^{10}}}\)

Mógłby ktoś pomóc?

[blade]

Czyli \(\displaystyle{ P(A|B)= \frac{P(A\cap B)}{P(B)} = \frac{6^{10}-3 \cdot 5^{10}}{6^{10}-5^{10}}}\)

A odpowiedzią jest \(\displaystyle{ P(A|B)= \frac{P(A\cap B)}{P(B)} = \frac{1-10 \cdot 5^{9}}{6^{10}-5^{10}}}\)

Mógłby ktoś pomóc?

Jeżeli zdanie "A odpowiedzią jest..." oznacza, że w książce podana została taka odpowiedź, tutaj podejrzewam, że jedynka miała być przed całym ułamkiem, czyli
\(\displaystyle{ P(A|B)= \frac{P(A\cap B)}{P(B)} =1-\frac{10 \cdot 5^{9}}{6^{10}-5^{10}}}\), a Tobie wyszło \(\displaystyle{ \frac{6^{10}-3 \cdot 5^{10}}{6^{10}-5^{10}}}\), to chciałbym zauważyć, że obydwie wartości są sobie równe, może w tym leży Twój problem?:)

Kod: Zaznacz cały

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%286%5E10-3*5%5E10%29%2F%286%5E10-5%5E10%29%3D1-%2810*5%5E9%29%2F%286%5E10-5%5E10%29

.

[aga285]

Tak, to odpowiedź z książki. W takim razie to wszystko tłumaczy, dzięki!