Przy okrągłym stole posadzono losowo 4 osoby

[damianb543]

Przy okrągłym stole posadzono losowo \(\displaystyle{ 4}\) osoby, wśród nich są osoby \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\). Oblicz prawdopodobieństwo, że:
a) osoby \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) siedzą obok siebie
b) osoby \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) siedzą naprzeciwko siebie.

Proszę o wytłumaczenie bo kompletnie nie rozumień tych ustawień przy okrągłym stole.

[Mruczek]

No to wybierzmy dowolne miejsce dla osoby \(\displaystyle{ A}\). Gdzie teraz może siedzieć \(\displaystyle{ B}\)? Po lewej lub prawej stronie \(\displaystyle{ A}\) lub na przeciwko niej. Każda z tych trzech sytuacji jest symetryczna, więc w a) będzie \(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\), a w b) bedzie \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\).

[damianb543]

A i B mogą się zmieniac czyli 2 sposoby i mnożymy przez sposoby ustawienia pozostałych 2 osób czyli razy 2 to daje 4

UStawienia wszystkich to 4 silnia. Wiec skąd \(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\)?

[Larsonik]

Ustawienie wszystkich to nie 4 silnia, bo stół jest okrągły, np. permutacja \(\displaystyle{ ( a_1, a_2, a_3, a_4)}\) da to samo ustawienie przy stole co permutacja \(\displaystyle{ ( a_4, a_3, a_2, a_1 )}\)

[damianb543]

Ustawienie wszystkich to nie 4 silnia, bo stół jest okrągły, np. permutacja \(\displaystyle{ ( a_1, a_2, a_3, a_4)}\) da to samo ustawienie przy stole co permutacja \(\displaystyle{ ( a_4, a_3, a_2, a_1 )}\)

Dobra to skąd ten wynik?

[Larsonik]

Mruczek Ci wszystko napisał. Pan \(\displaystyle{ B}\) może usiąść po lewej stronie, po prawej stronie albo na przeciwko pana \(\displaystyle{ A}\). W a) masz 2 zdarzenia sprzyjające a w b) jedno i tyle. Nie każde zadanie z prawdopodobieństwa należy rozwiązywać za pomocą znanych z podręczników permutacji czy wariacji, po co sobie utrudniać.

[damianb543]

Mruczek Ci wszystko napisał. Pan \(\displaystyle{ B}\) może usiąść po lewej stronie, po prawej stronie albo na przeciwko pana \(\displaystyle{ A}\). W a) masz 2 zdarzenia sprzyjające a w b) jedno i tyle. Nie każde zadanie z prawdopodobieństwa należy rozwiązywać za pomocą znanych z podręczników permutacji czy wariacji, po co sobie utrudniać.

A ustawienia pozostałych osób dlaczego nie są wliczane?

-- 15 kwi 2017, o 18:28 --

Kompletnie nie rozumie tych zadan z okrągłym stołem.

-- 15 kwi 2017, o 21:10 --

Przecież przy stole są 4 krzesła i jeszcze zostana 2 osoby do posadzenia.

-- 16 kwi 2017, o 11:41 --

Wytłumaczy ktos?

[damianb543]

Ponawiam pytanie.

[Jan Kraszewski]

Przecież przy stole są 4 krzesła i jeszcze zostana 2 osoby do posadzenia.

Nie zrozumiałeś, czym jest przestrzeń zdarzeń elementarnych. W rozwiązaniu Mruczka zdarzeniami elementarnymi nie są możliwe usadzenia czterech osób przy stole, tylko możliwe usadzenia osoby \(\displaystyle{ B}\) w stosunku do osoby \(\displaystyle{ A}\). A jest tak dlatego, bo jest to prostsza przestrzeń zdarzeń elementarnych, więc i rozwiązanie jest prostsze.

Możesz oczywiście rozwiązywać to zadanie stosując inną przestrzeń zdarzeń elementarnych, której elementami są możliwe usadzenia czterech osób przy stole, ale wtedy musisz ją dobrze opisać.

JK

[damianb543]

Przecież przy stole są 4 krzesła i jeszcze zostana 2 osoby do posadzenia.

Nie zrozumiałeś, czym jest przestrzeń zdarzeń elementarnych. W rozwiązaniu Mruczka zdarzeniami elementarnymi nie są możliwe usadzenia czterech osób przy stole, tylko możliwe usadzenia osoby \(\displaystyle{ B}\) w stosunku do osoby \(\displaystyle{ A}\). A jest tak dlatego, bo jest to prostsza przestrzeń zdarzeń elementarnych, więc i rozwiązanie jest prostsze.

Możesz oczywiście rozwiązywać to zadanie stosując inną przestrzeń zdarzeń elementarnych, której elementami są możliwe usadzenia czterech osób przy stole, ale wtedy musisz ją dobrze opisać.

JK

To jak to zrobić jak z mozliwosciami dla 4 osob?

[Jan Kraszewski]

Ponieważ stół jest okrągły, więc możemy gdziekolwiek posadzić osobę \(\displaystyle{ A}\), a potem opisywać zdarzenia elementarne jako trójki uporządkowane:

\(\displaystyle{ \left( \mbox{osoba na lewo od } A, \mbox{osoba naprzeciwko } A, \mbox{osoba na prawo od } A\right).}\)

Jak nietrudno zauważyć, \(\displaystyle{ \left| \Omega\right|=6}\) i musisz policzyć zdarzenia sprzyjające w każdej z dwóch badanych sytuacji.

JK