Prawdopododobieństwo - losowanie sześcianu

[MrCommando]

Witam, przygotowuję się do konkursu Politechniki Warszawskiej. Na zeszłorocznym finale natknąłem się na zadanie, którego w żaden sposób nie jestem w stanie rozwiązać. Proszę o pomoc.

Ściany sześcianu wykonanego z białego materiału pomalowano na czerwono. Sześcian ten podzielono \(\displaystyle{ 3n}\) płaszczyznami równoległymi do ścian na mniejsze, przystające sześciany. Z powstałych \(\displaystyle{ (n+1)^3}\) sześcianów losujemy jeden. Niech \(\displaystyle{ p_k}\) oznacza prawdopodobieństwo tego, że ma on dokładnie \(\displaystyle{ k}\) ścian czerwonych. Wyznaczyć wzór ogólny na \(\displaystyle{ p_k}\).

[bosa_Nike]

Jakiś skrót może istnieje, ja to policzyłam na palcach. Najpierw liczbę małych sześcianów na pojedynczej ścianie, później sześciany wewnątrzścienne (tj. niekrawędziowe - te nazwy powinny być chyba zrozumiałe), wewnątrzkrawędziowe i narożne (tych jest zawsze tyle samo). Wiadomo, że wewnątrzścienne nie są współdzielone, wewnątrzkrawędziowe są współdzielone między dwiema ścianami, a narożne - między trzema. Napisz, co Ci wyszło.

Mój wynik:    

\(\displaystyle{ p_k=\frac{{3\choose k}2^k(n-1)^{3-k}}{(n+1)^3}}\)

[MrCommando]

Udało mi się dojść do takich wniosków:

Ilość sześcianów wewnątrzściennych można opisać rekurencją \(\displaystyle{ a_n=a_{n-1}+12n-18}\). Doszedłem do tego, że rozwiązaniem jej jest ciąg \(\displaystyle{ a_n=6(n-1)^2}\). Z kolei ilość sześcianów wewnątrzkrawędziowych (nie będących narożnymi) jest równa \(\displaystyle{ 12(n-1)}\). Sześcianów narożnych jest zawsze \(\displaystyle{ 8}\). Teraz można łatwo policzyć ilość sześcianów, które nigdy nie zostaną pomalowane - jest to \(\displaystyle{ (n-1)^3}\). Stąd mamy:

\(\displaystyle{ p_0=\frac{(n-1)^3}{(n+1)^3}}\)
\(\displaystyle{ p_1=\frac{6(n-1)^2}{(n+1)^3}}\)
\(\displaystyle{ p_2=\frac{12(n-1)}{(n+1)^3}}\)
\(\displaystyle{ p_3=\frac{8}{(n+1)^3}}\)

Istotnie, zgadza się to z Twoim wzorem, jednak dość trudno (dla mnie) byłoby wpaść, że jest to właśnie \(\displaystyle{ p_k=\frac{ {3\choose k} 2^k (n-1)^{3-k}}{(n+1)^3}}\). Na pierwszy rzut oka jedynie wiedziałem, że w wykładniku przy wyrażeniu \(\displaystyle{ n-1}\) powinno być \(\displaystyle{ 3-k}\), ale jak wpadłaś na \(\displaystyle{ {3\choose k} 2^k}\)? Po prostu na wyczucie, czy może kryło się za tym jakieś rozumowanie?

[bosa_Nike]

Jawnie wewnątrzściennych na każdej ścianie jest (wszystkie minus krawędziowe) \(\displaystyle{ (n+1)^2-4n=(n-1)^2}\) i nie są one współdzielone, tzn. razem jest ich sześć razy tyle - ten wynik odpowiada Twojej rekurencji.

Co do wzoru, to nie, nie kryło się za tym żadne kombinatoryczne uzasadnienie.

[MrCommando]

Wszystko jasne, dziękuję za pomoc

[bosa_Nike]

Właściwie, to wydaje mi się teraz, że to nie musi być wcale oczywiste: jest jeszcze jedna rzecz, która wymaga komentarza od rozwiązującego. Co w przypadku trzech płaszczyzn? Czy wzór działa, czy nie?

[MrCommando]

Czemu miałby nie działać? W przypadku trzech płaszczyzn otrzymujemy dokładnie 8 sześcianów, przy czym każdy ma dokładnie trzy ściany czerwone. Zatem \(\displaystyle{ p_3=1}\) oraz \(\displaystyle{ p_0=p_1=p_2=0}\). Pasuje to do naszego wzoru.

[bosa_Nike]

Bardzo przepraszam, nie zauważyłam Twojej odpowiedzi. Może sprecyzuję. Chodziło o komentarz do działania wzoru w przypadku \(\displaystyle{ n=1,\ k=3}\).

[MrCommando]

Rzeczywiście, w ogóle tego nie zauważyłem. Otrzymamy wówczas w liczniku m. in. wyrażenie \(\displaystyle{ 0^0}\), którego wartości nie jesteśmy w stanie określić. Zatem myślę, że przydałoby się dopisać, że wzór jest prawdziwy dla liczb naturalnych \(\displaystyle{ n>1}\) i opisać jaka będzie sytuacja w przypadku, gdy \(\displaystyle{ n=1}\) (czyli jak napisałem \(\displaystyle{ p_3=1}\) i \(\displaystyle{ p_0=p_1=p_2=0}\)).

[bosa_Nike]

No właśnie chodzi o to, że ten przypadek wymaga zajęcia stanowiska po którejś stronie barykady, tzn. jasnej deklaracji. Jeżeli to uczynimy przyjmując \(\displaystyle{ 0^0=1}\), to nie trzeba będzie wyłączać \(\displaystyle{ n=1}\).

[MrCommando]

Nie wiedziałem, że mamy prawo przyjąć, że \(\displaystyle{ 0^0=1}\). Myślałem, że powinniśmy traktować to jako wyrażenie nieoznaczone. Dziękuję za wyjaśnienie.

[VirtualUser]

Z kolei ilość sześcianów wewnątrzkrawędziowych (nie będących narożnymi) jest równa \(\displaystyle{ 12(n-1)}\).

O ile dobrze rozumiem twoją definicję wewnątrz krawędziowych (tj. sześcian znajdujący się przy krawędzi nie będący narożnych) to dla \(\displaystyle{ n=2}\) wyszło mi, że takich sześcianów jest \(\displaystyle{ 24}\), a z tego wzoru wychodzi, że \(\displaystyle{ 12}\). Dla \(\displaystyle{ n=2}\) przypada po dwa takie sześciany na krawędź.
Błąd, omylnie poleciałem z jedną płaszczyzną za dużo, powinien być jeden sześcian/krawędź

[MrCommando]

No bo wychodzi \(\displaystyle{ 12}\). Sprawdź jeszcze raz. Zauważ, że dla \(\displaystyle{ n=2}\) otrzymamy \(\displaystyle{ 27}\) sześcianów, co już pokazuje, że Twoja odpowiedź jest niepoprawna.

EDIT: Tak swoją drogą, to jak patrzę z jakimi rzeczami miałem problemy rok temu, to w ogóle siebie nie poznaję. Dzisiaj uznaję zadanie za niezbyt trudne. Zadziwiające jak przez rok można pójść do przodu.