Rzut pięcioma kostkami do gry

[timus221]

Rzucono 5 kości do gry. Znaleźć prawdopodobieństwo, że przynajmniej na trzech kościach
odsłonią się takie same ścianki. (Odp: \(\displaystyle{ \frac{23}{108}}\) )

Moje rozwiązanie :

Podszedłem do zadania w odwrotny sposób tzn obliczę prawdopodobieństwo, kiedy wypadają wszystkie inne wartości (zdarzenie A) lub wartości powtarzają się na dwóch ściankach (zdarzenie B).
\(\displaystyle{ \left| \Omega \right| = 6^{5}}\)
\(\displaystyle{ \left| A\right| = 6!}\)
\(\displaystyle{ \left| B\right|}\)
nie jestem pewien, ale liczyłem tak: \(\displaystyle{ {5 \choose 2} \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3}\), tłumaczę już dlaczego: \(\displaystyle{ {5 \choose 2}}\), bo wybieram parę z pięciu kostek, potem mnożę przez 6, bo 6 różnych wartości może to być, a następnie \(\displaystyle{ 5 \cdot 4 \cdot 3}\), bo pozostałe kości mogą mieć wartości kolejno na 5 sposobów, kolejna na 4, kolejna na 3 .

\(\displaystyle{ P= \frac{\left| A\right| + \left| B\right| }{\Omega} = \frac{5}{9}}\)
Szukane prawdopodobieństwo : \(\displaystyle{ 1-P = \frac{4}{9}}\)

Jak widać, jest to wynik inny niż odpowiedź, dlaczego? Gdzie jest błąd w moim myśleniu?

[RCCK]

W zdarzeniu \(\displaystyle{ B}\) nie uwzględniłeś przypadku, w którym byłyby dwie pary kostek z taką samą ilością oczek.

[timus221]

\(\displaystyle{ {5 \choose 2}}\), bo wybieram parę z pięciu kostek, potem mnożę przez 6, bo 6 różnych wartości może to być

Ale to jest uwzględnione. Przypadek B to przypadek, kiedy mamy taką samą wartośc na dwóch kostkach, więc jak możemy mieć dwie pary z taką samą ilością oczek? Wtedy to już chyba masz na myśli przypadek, że na 4 kostkach ta sama wartość, tak?

[kinia7]

Twoje rozwiązanie nie uwzględnia sytuacji np. 34643

\(\displaystyle{ |B|= {5 \choose 2} \cdot6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3+\frac12 \cdot {5 \choose 2} \cdot {3 \choose 2} \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4}\)