Zdarzenia niezależne

[Benny01]

\(\displaystyle{ A,B,C}\) są parami niezależne, \(\displaystyle{ P(A)=P(B)=P(C),A \cap B \cap C= \emptyset .}\)
Jaka jest największa możliwa wartość \(\displaystyle{ P(A)?}\)

[miodzio1988]

181899.htm

zadanie 2 zerknij

[Benny01]

No właśnie nie wiem jak mam interpretować tę sumę. \(\displaystyle{ P(A)}\) będzie największe, jeśli \(\displaystyle{ P(A \cup B \cup C)}\) będzie największe?

[miodzio1988]

Możesz przecież tę sumę szacować

[Benny01]

No tak, z dołu przez \(\displaystyle{ 0}\) i z góry przez \(\displaystyle{ 1}\). I z tego dostaje, że \(\displaystyle{ P(A) \in [0,1]}\). Bez sensu, wychodzi, że może przyjąć wartość \(\displaystyle{ 1}\).

[piasek101]

Skoro niezależne to :
\(\displaystyle{ P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)}\)

[Benny01]

Tak, zastosowałem się do wzoru i dostałem wynik, który napisałem wyżej.

\(\displaystyle{ 0 \le 3P(A)-3P(A)^2 \le 1}\)

[piasek101]

Było pod linkiem - szukasz jaką największą wartość może to osiągnąć, a nie ograniczasz tego.

To, że \(\displaystyle{ P(A)}\) jest od zera do jeden - jest dziedziną.

[Benny01]

Jeśli mam tego nie ograniczać to co mam zrobić z sumą \(\displaystyle{ P(A \cup B \cup C)?}\)

[piasek101]

Sorki. Nie bierz pod uwagę moich podpowiedzi - przeczytałem to pod linkiem, a Ty masz inne zadanie.

[Premislav]

\(\displaystyle{ \mathbf{P}(A) \ge \mathbf{P}(A \cap (B \cup C))=\mathbf{P}((A \cap B) \cup (A \cap C))=\\=\mathbf{P}(A \cap B)+\mathbf{P}(A \cap C)-\mathbf{P}(A \cap B \cap C)}\)
Z tego i z założeń zadania możemy wywnioskować, że
\(\displaystyle{ \mathbf{P}(A) \ge 2(\mathbf{P}(A))^2}\),
czyli \(\displaystyle{ \mathbf{P}(A) \le \frac 1 2}\).
Dla \(\displaystyle{ \frac 1 2}\) łatwo skonstruować przykład, więc równość zajdzie (oczywiście musisz ten przykład podać, a nie tylko napisać, że istnieje). Masz to wymyślić (łatwo idzie, jak sobie spojrzysz na prawdopodobieństwo geometryczne np. weźmiesz odpowiednie fragmenty koła o polu \(\displaystyle{ 1}\), ale niekoniecznie tak trzeba).



Pozdro 88

[Benny01]

Można jeszcze słowo komentarza skąd się wzięła pierwsza nierówność?
Czy taki przykład jest ok:
\(\displaystyle{ A-}\) wylosowano punkt z koła, który znajduje się w I lub II ćwiartce.
\(\displaystyle{ B-}\) wylosowano punkt, który znajduje się w III lub IV ćwiartce.
\(\displaystyle{ C-}\) wylosowano punkt, który znajduje się w I lub IV ćwiartce.

[Premislav]

Można jeszcze słowo komentarza skąd się wzięła pierwsza nierówność?

Ponieważ \(\displaystyle{ A \cap (B \cup C) \subset A}\), więc z monotoniczności prawdopodobieństwa mamy
\(\displaystyle{ \mathbf{P}(A) \ge \mathbf{P}(A \cap (B \cup C))}\). Sorry, ale takie rzeczy to chyba powinieneś łapać.
Przykład trzeba odrobinę poprawić (może literówka się przydarzyła), bo przecież
teraz Twoje \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) są rozłączne, a zdarzenia \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) mogą być jednocześnie rozłączne i niezależne tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ \mathbf{P}(A)=0 \vee \mathbf{P}(B)=0}\).

[Benny01]

Jasne, nie zwróciłem na to uwagi.-- 4 kwi 2017, o 15:24 --Ma być oczywiście:
\(\displaystyle{ A}\) - I i II ćwiartka
\(\displaystyle{ B}\) - I i III ćwiartka
\(\displaystyle{ C}\) - II i III ćwiartka