Liczby niewymierne

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
Awatar użytkownika
nabzdyczony
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 43
Rejestracja: 8 lis 2016, o 19:29
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 11 razy

Liczby niewymierne

Post autor: nabzdyczony »

Niech \(\displaystyle{ \Omega = R}\) i \(\displaystyle{ S}\) to najmniejsza \(\displaystyle{ \sigma}\)-algebra zawierająca wszystkie odcinki otwarte zawarte w \(\displaystyle{ \Omega}\). Czy zbiór liczb wymiernych \(\displaystyle{ IQ}\) należy do \(\displaystyle{ S}\) ? Jak tak, to oblicz \(\displaystyle{ P(IQ)}\)

Nie mam pojęcia jak to zrobić.
Downonmyluck
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 44
Rejestracja: 25 kwie 2015, o 12:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 11 razy
Pomógł: 3 razy

Liczby niewymierne

Post autor: Downonmyluck »

Liczby wymierne są oznaczone jako \(\displaystyle{ IQ}\)? Z tego, co napisałeś, to \(\displaystyle{ S}\) to po prostu \(\displaystyle{ \mathfrak{B}(\mathbb{R})}\), tj. sigma ciało zbiorów borelowskich na prostej. Każdy zbiór jednopunktowy należy do tego sigma ciała, tak więc w szczególności zbiór liczb wymiernych, bo jest przeliczalny. Nie mam pojęcia, jak policzyć \(\displaystyle{ \mathbb{P}(\mathbb{Q})}\), skoro nie jest dane. Jeśli to miara Lebesgue'a jakoś odpowiednio unormowana, to będzie to zero.
Awatar użytkownika
nabzdyczony
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 43
Rejestracja: 8 lis 2016, o 19:29
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 11 razy

Liczby niewymierne

Post autor: nabzdyczony »

Najmocniej przepraszam. Chodzi o liczby niewymierne

edit: Czy w takim razie dopełnieniem zbioru liczb wymiernych są odcinki otwarte, czyli zbiór liczb niewymiernych?
Ostatnio zmieniony 28 mar 2017, o 21:28 przez nabzdyczony, łącznie zmieniany 1 raz.
Downonmyluck
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 44
Rejestracja: 25 kwie 2015, o 12:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 11 razy
Pomógł: 3 razy

Liczby niewymierne

Post autor: Downonmyluck »

No to w takim razie liczby niewymierne również należą do tego sigma ciała, bo jest zamknięte ze względu na dopełnienia, a \(\displaystyle{ \mathbb{IQ} = \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}}\). Masz przestrzeń probabilistyczną \(\displaystyle{ (\mathbb{R}, \mathfrak{B}(\mathbb{R}), \mathbb{P})}\), ale prawdopodobieństwo nie jest dane.
Awatar użytkownika
nabzdyczony
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 43
Rejestracja: 8 lis 2016, o 19:29
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 11 razy

Liczby niewymierne

Post autor: nabzdyczony »

A rzeczywiście. Zapomiałem zapisać. Prawdopodobieństwo to: \(\displaystyle{ P: S \rightarrow [0,1]}\) takie, że \(\displaystyle{ P(\left\{ \omega\right\})=0}\) dla każdego \(\displaystyle{ \omega \in \Omega}\)

edit: czy zatem odp. to 1 ze względu na to, że jak losujemy wymierne to wychodzi 0?
Downonmyluck
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 44
Rejestracja: 25 kwie 2015, o 12:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 11 razy
Pomógł: 3 razy

Liczby niewymierne

Post autor: Downonmyluck »

nabzdyczony pisze:A rzeczywiście. Zapomiałem zapisać. Prawdopodobieństwo to: \(\displaystyle{ P: S \rightarrow [0,1]}\) takie, że \(\displaystyle{ P(\left\{ \omega\right\})=0}\) dla każdego \(\displaystyle{ \omega \in \Omega}\)

edit: czy zatem odp. to 1 ze względu na to, że jak losujemy wymierne to wychodzi 0?

Tak.
ODPOWIEDZ