Witam, mam problem z pewnym zadankiem z diagnozy z OKE, oto treść:
Mamy 2 pojemniki, w pierwszym znajdują się 2 kule białe i 4 czarne, natomiast w drugim 4 białe i 3 czarne. Wybieramy losowo pojemnik i z wybranego pojemnika wyciągamy kolejno 2 kulki bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo, że za drugim razem wyciągniemy kulkę białą, jeżeli za pierwszym razem wyciągnęliśmy kulkę białą. Proszę o pomoc!
Prawdopodobieństwo warunkowe, kulki w dwóch pojemnikach.
-
misi123456
- Użytkownik
- Posty: 17
- Rejestracja: 24 mar 2017, o 17:56
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 7 razy
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7920
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Prawdopodobieństwo warunkowe, kulki w dwóch pojemnikach.
Doświadczenie losowe składa się z dwóch etapów.
Etap pierwszy
Losowy wybór pojemnika spośród pojemników I, II.
Etap drugi
Losowanie kolejne dwóch kul z losowo wybranego pojemnika.
Etap pierwszy
\(\displaystyle{ \Omega_{1} = \left\{ I, II \right\}.}\)
\(\displaystyle{ P_{1}(I) = \frac{1}{2}, \ \ P_{1}(II) = \frac{1}{2}.}\)
Etap drugi
\(\displaystyle{ \Omega_{2} = \left\{ (bb),(bc), (cb), (cc)\right\}.}\)
\(\displaystyle{ P_{2}((bb)|I) = \frac{V_{2}^{2}}{V_{6}^{2}} = \frac{2\cdot 1}{6\cdot 5}=\frac{2}{30}.}\)
\(\displaystyle{ P_{2}((bc)|I) = \frac{V_{2}^{1}\cdot V_{4}^{1}}{V_{6}^{2}} = \frac{2\cdot 4}{6\cdot 5}=\frac{8}{30}.}\)
\(\displaystyle{ P_{2}((cb)|I) = \frac{V_{4}^{1}\cdot V_{2}^{1}}{V_{6}^{2}} = \frac{4\cdot 2}{6\cdot 5}=\frac{8}{30}.}\)
\(\displaystyle{ P_{2}((cc)|I) = \frac{V_{4}^{2}}{V_{6}^{2}} = \frac{4\cdot 3}{6\cdot 5}=\frac{12}{30}.}\)
\(\displaystyle{ P_{2}((bb)|II) = \frac{V_{4}^{2}}{V_{7}^{2}} = \frac{4\cdot 3}{7\cdot 6}=\frac{12}{42}.}\)
\(\displaystyle{ P_{2}((bc)|II) = \frac{V_{4}^{1}\cdot V_{3}^{1}}{V_{7}^{2}} = \frac{4\cdot 3}{7\cdot 6}=\frac{12}{42}.}\)
\(\displaystyle{ P_{2}((cb)|II) = \frac{V_{3}^{1}\cdot V_{4}^{1}}{V_{7}^{2}} = \frac{3\cdot 4}{7\cdot 6}=\frac{12}{42}.}\)
\(\displaystyle{ P_{2}((cc)|II) = \frac{V_{3}^{2}}{V_{7}^{2}} = \frac{3\cdot 2}{7\cdot 6}=\frac{6}{42}.}\)
\(\displaystyle{ A -}\) - zdarzenie " za drugim razem wylosowano kulę białą"
\(\displaystyle{ B -}\) - zdarzenie " za pierwszym razem wylosowano kulę białą"
Ze wzoru na prawdopodobieństwo warunkowe:
\(\displaystyle{ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}.}\)
\(\displaystyle{ P(A|B) = \frac{P(I)\cdot P((bb)|I) + P(II)\cdot P((bb)|II)}{P(I)\cdot P((bb)|I)+P(I)\cdot P((cb)|I) +P(II)\cdot P((bb)|II)+P(II)\cdot P((cb)|II)}.}\)
\(\displaystyle{ P(A|B) =\frac{\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{30}+\frac{1}{2}\cdot \frac{12}{42}}{\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{30} +\frac{1}{2}\cdot \frac{8}{30} + \frac{1}{2}\cdot \frac{12}{42}+\frac{1}{2}\cdot \frac{12}{42}} = \frac{37}{95}.}\)
Interpretacja otrzymanej wartości prawdopodobieństwa
W wyniku realizacja doświadczenia losowego należy oczekiwać, że w około \(\displaystyle{ 39\%}\) jego realizacji, jeśli za pierwszym razem otrzymaliśmy kulę białą, to i za drugim razem też otrzymamy kulę białą.
Etap pierwszy
Losowy wybór pojemnika spośród pojemników I, II.
Etap drugi
Losowanie kolejne dwóch kul z losowo wybranego pojemnika.
Etap pierwszy
\(\displaystyle{ \Omega_{1} = \left\{ I, II \right\}.}\)
\(\displaystyle{ P_{1}(I) = \frac{1}{2}, \ \ P_{1}(II) = \frac{1}{2}.}\)
Etap drugi
\(\displaystyle{ \Omega_{2} = \left\{ (bb),(bc), (cb), (cc)\right\}.}\)
\(\displaystyle{ P_{2}((bb)|I) = \frac{V_{2}^{2}}{V_{6}^{2}} = \frac{2\cdot 1}{6\cdot 5}=\frac{2}{30}.}\)
\(\displaystyle{ P_{2}((bc)|I) = \frac{V_{2}^{1}\cdot V_{4}^{1}}{V_{6}^{2}} = \frac{2\cdot 4}{6\cdot 5}=\frac{8}{30}.}\)
\(\displaystyle{ P_{2}((cb)|I) = \frac{V_{4}^{1}\cdot V_{2}^{1}}{V_{6}^{2}} = \frac{4\cdot 2}{6\cdot 5}=\frac{8}{30}.}\)
\(\displaystyle{ P_{2}((cc)|I) = \frac{V_{4}^{2}}{V_{6}^{2}} = \frac{4\cdot 3}{6\cdot 5}=\frac{12}{30}.}\)
\(\displaystyle{ P_{2}((bb)|II) = \frac{V_{4}^{2}}{V_{7}^{2}} = \frac{4\cdot 3}{7\cdot 6}=\frac{12}{42}.}\)
\(\displaystyle{ P_{2}((bc)|II) = \frac{V_{4}^{1}\cdot V_{3}^{1}}{V_{7}^{2}} = \frac{4\cdot 3}{7\cdot 6}=\frac{12}{42}.}\)
\(\displaystyle{ P_{2}((cb)|II) = \frac{V_{3}^{1}\cdot V_{4}^{1}}{V_{7}^{2}} = \frac{3\cdot 4}{7\cdot 6}=\frac{12}{42}.}\)
\(\displaystyle{ P_{2}((cc)|II) = \frac{V_{3}^{2}}{V_{7}^{2}} = \frac{3\cdot 2}{7\cdot 6}=\frac{6}{42}.}\)
\(\displaystyle{ A -}\) - zdarzenie " za drugim razem wylosowano kulę białą"
\(\displaystyle{ B -}\) - zdarzenie " za pierwszym razem wylosowano kulę białą"
Ze wzoru na prawdopodobieństwo warunkowe:
\(\displaystyle{ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}.}\)
\(\displaystyle{ P(A|B) = \frac{P(I)\cdot P((bb)|I) + P(II)\cdot P((bb)|II)}{P(I)\cdot P((bb)|I)+P(I)\cdot P((cb)|I) +P(II)\cdot P((bb)|II)+P(II)\cdot P((cb)|II)}.}\)
\(\displaystyle{ P(A|B) =\frac{\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{30}+\frac{1}{2}\cdot \frac{12}{42}}{\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{30} +\frac{1}{2}\cdot \frac{8}{30} + \frac{1}{2}\cdot \frac{12}{42}+\frac{1}{2}\cdot \frac{12}{42}} = \frac{37}{95}.}\)
Interpretacja otrzymanej wartości prawdopodobieństwa
W wyniku realizacja doświadczenia losowego należy oczekiwać, że w około \(\displaystyle{ 39\%}\) jego realizacji, jeśli za pierwszym razem otrzymaliśmy kulę białą, to i za drugim razem też otrzymamy kulę białą.
-
misi123456
- Użytkownik
- Posty: 17
- Rejestracja: 24 mar 2017, o 17:56
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 7 razy
Prawdopodobieństwo warunkowe, kulki w dwóch pojemnikach.
Masakra, super wyjaśnione, wgl nie wiedziałem, że otrzymam rozwiązanie tylko wskazówki, ale oczywiście wszystko zrozumiałe. Dziękuję bardzo!