Cześć.
Mam problem z zadaniami.
W poniższym zadaniu nie mam pojęcia jak to zrobić.
Trzech zawodników strzelało równocześnie do tego samego celu. Prawdopodobieństwo trafienia w jednym strzale jest dla tych zawodników odpowiednio równe: 0,7; 0,1; 0,3. Jakie jest prawdopodobieństwo, że cel został trawiony?
Tu wydaje mi się, że wiem jak to zrobić, ale prosiłbym o potwierdzenie.
W trzech urnach znajdują się kule białe i czerwone: w pierwszej 3b i 4c, w drugiej 2b i 5c, w trzeciej 1b i 6c. Rzucamy kostką do gdy. Jeśli wypadnie 1 losujemy dwie kule z urny pierwszej, jeżeli wypadnie liczba parzysta losujemy dwie kule z urny drugiej, w pozostałych przypadkach losujemy dwie kule z urny trzeciej. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzeń:
A - kule są różnych kolorów (mi wyszło 3/7)
B - obie kule są białe (mi wyszło 1/21)
Da radę ktoś pomóc
Jak coś do drugiego zadanie zrobiłem takie drzewko
/ |
1/6/ 1/2| 1/3
/ |
1 2,4,6 3,5
/ / /
3/7/ 4/7 2/7/ 5/7 1/7/ 6/7
/ / /
B C B C B C
1/3/ 2/3 1/2/ 1/2 1/6/ 5/6 1/3/ 2/3 0/ 1 1/6/ 5/6
B C B C B C B C B C B C
1/42 1/21 1/21 1/21 1/42 5/42 5/42 5/21 0 1/21 1/21 5/21
Trzech zawodników strzelało równocześnie do tego samego celu
-
karakuku
- Użytkownik
- Posty: 226
- Rejestracja: 14 sie 2016, o 17:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 20 razy
- Pomógł: 60 razy
Trzech zawodników strzelało równocześnie do tego samego celu
W pierwszym zadaniu łatwo policzyć prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego tzn. nikt nie trafił.
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Trzech zawodników strzelało równocześnie do tego samego celu
Zadanie 1
Zdarzenie losowe polega na jednoczesnym strzelaniu trzech zawodników do tego samego celu.
Zakładamy, że zawodnicy strzelają do celu niezależnie od siebie.
Oznaczenia zdarzeń:
\(\displaystyle{ T_{i}}\) - cel został trafiony przez zawodnika \(\displaystyle{ i, \ \ i=1,2,3.}\)
\(\displaystyle{ \overline{T_{i}}}\) - cel nie został trafiony przez zawodnika o numerze \(\displaystyle{ i, \ \ i=1,2,3.}\)
\(\displaystyle{ T}\) - cel został trafiony
Metoda pierwsza (wprost)
\(\displaystyle{ P(T) = P(T_{1})\cdot P(\overline{ T_{2}})\cdot P(\overline{T_{3}})+ P(\overline{T_{1}}) \cdot P(T_{2})\cdot P(\overline{T_{3}})+ P(\overline{T_{1}}) \cdot P(\overline{T_{2}})\cdot P(T_{3}) +P(T_{1})\cdot P(T_{2})\cdot P(\overline{T_{3}}) +P(T_{1})\cdot P(\overline{T_{2}})\cdot P(T_{3}) +P(\overline{T_{1}})\cdot P(T_{2})\cdot P(T_{3}) +P(T_{1})\cdot P(T_{2})\cdot P(T_{3}).}\)
Metoda druga ( w oparciu o prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego)
\(\displaystyle{ P(T) = 1 - P(\overline{T_{1}})\cdot P(\overline{T_{2}})\cdot P(\overline{T_{3}}).}\)
Proszę podstawić dane liczbowe i zinterpretować otrzymaną wartość prawdopodobieństwa.
Zdarzenie losowe polega na jednoczesnym strzelaniu trzech zawodników do tego samego celu.
Zakładamy, że zawodnicy strzelają do celu niezależnie od siebie.
Oznaczenia zdarzeń:
\(\displaystyle{ T_{i}}\) - cel został trafiony przez zawodnika \(\displaystyle{ i, \ \ i=1,2,3.}\)
\(\displaystyle{ \overline{T_{i}}}\) - cel nie został trafiony przez zawodnika o numerze \(\displaystyle{ i, \ \ i=1,2,3.}\)
\(\displaystyle{ T}\) - cel został trafiony
Metoda pierwsza (wprost)
\(\displaystyle{ P(T) = P(T_{1})\cdot P(\overline{ T_{2}})\cdot P(\overline{T_{3}})+ P(\overline{T_{1}}) \cdot P(T_{2})\cdot P(\overline{T_{3}})+ P(\overline{T_{1}}) \cdot P(\overline{T_{2}})\cdot P(T_{3}) +P(T_{1})\cdot P(T_{2})\cdot P(\overline{T_{3}}) +P(T_{1})\cdot P(\overline{T_{2}})\cdot P(T_{3}) +P(\overline{T_{1}})\cdot P(T_{2})\cdot P(T_{3}) +P(T_{1})\cdot P(T_{2})\cdot P(T_{3}).}\)
Metoda druga ( w oparciu o prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego)
\(\displaystyle{ P(T) = 1 - P(\overline{T_{1}})\cdot P(\overline{T_{2}})\cdot P(\overline{T_{3}}).}\)
Proszę podstawić dane liczbowe i zinterpretować otrzymaną wartość prawdopodobieństwa.
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Trzech zawodników strzelało równocześnie do tego samego celu
Zadanie 2
Doświadczenie losowe składa się z dwóch etapów:
Etap pierwszy
-rzut sześcienną kostką i wybór jednej z urn I, II, III.
Etap drugi
- jednoczesne losowanie dwóch kul z wybranej urny.
Etap pierwszy
\(\displaystyle{ \Omega_{1} = \left\{ I, II , III\right\}.}\)
\(\displaystyle{ P(I) = \frac{1}{6}, \ \ P(II) = \frac{3}{6}, \ \ P(III) = \frac{2}{6}.}\)
Etap drugi
\(\displaystyle{ \Omega_{2}= \left\{ bb, bc, cc \right\}.}\)
\(\displaystyle{ P(bb| I )= \frac{{3\choose 2}}{{7\choose 2}}= \frac{3}{21}.}\)
\(\displaystyle{ P(bc|I) = \frac{{3\choose 1}\cdot {4\choose 1}}{{7\choose 2}}= \frac{12}{21}.}\)
\(\displaystyle{ P(cc|I)= \frac{{4\choose 2}}{{7\choose 2}}= \frac{6}{21}.}\)
\(\displaystyle{ P(bb|II )= \frac{{2\choose 2}}{{7\choose 2}}= \frac{1}{21}.}\)
\(\displaystyle{ P(bc|II) = \frac{{2\choose 1}\cdot {5\choose 1}}{{7\choose 2}}= \frac{10}{21}.}\)
\(\displaystyle{ ] P(cc|II)= \frac{{5\choose 2}}{{7\choose 2}}= \frac{10}{21}.}\)
\(\displaystyle{ P(bb|III )= 0.}\)
\(\displaystyle{ P(bc|III) = \frac{{1\choose 1}\cdot {6\choose 1}}{{7\choose 2}}= \frac{6}{21}.}\)
\(\displaystyle{ P(cc|III)= \frac{{6\choose 2}}{{7\choose 2}}= \frac{15}{21}.}\)
a)
\(\displaystyle{ P(A) = P(I)\cdot P(bc |I) + P(II)\cdot P(bc| II) +P(III)\cdot P(bc| III)= \frac{1}{6}\cdot \frac{12}{21} + \frac{3}{6}\cdot \frac{10}{21} + \frac{2}{6}\cdot \frac{6}{21}= \frac{54}{126}= \frac{3}{7}.}\)
b)
\(\displaystyle{ P(B) = P(I)\cdot P(bb |I) + P(II)\cdot P(bb| II) +P(III)\cdot P(bb| III)= \frac{1}{6}\cdot \frac{3}{21} + \frac{3}{6}\cdot \frac{1}{21} + \frac{2}{6}\cdot 0 = \frac{6}{126}= \frac{1}{21}.}\)
Interpretacja otrzymanych wartości prawdopodobieństw
W wyniku realizacja doświadczenia losowego należy oczekiwać, że w około \(\displaystyle{ 43\%}\) ogólnej liczbie jego wyników otrzymamy dwie kule różnokolorowe, zaś w około \(\displaystyle{ 4,8\%}\) obie kul białe.
Doświadczenie losowe składa się z dwóch etapów:
Etap pierwszy
-rzut sześcienną kostką i wybór jednej z urn I, II, III.
Etap drugi
- jednoczesne losowanie dwóch kul z wybranej urny.
Etap pierwszy
\(\displaystyle{ \Omega_{1} = \left\{ I, II , III\right\}.}\)
\(\displaystyle{ P(I) = \frac{1}{6}, \ \ P(II) = \frac{3}{6}, \ \ P(III) = \frac{2}{6}.}\)
Etap drugi
\(\displaystyle{ \Omega_{2}= \left\{ bb, bc, cc \right\}.}\)
\(\displaystyle{ P(bb| I )= \frac{{3\choose 2}}{{7\choose 2}}= \frac{3}{21}.}\)
\(\displaystyle{ P(bc|I) = \frac{{3\choose 1}\cdot {4\choose 1}}{{7\choose 2}}= \frac{12}{21}.}\)
\(\displaystyle{ P(cc|I)= \frac{{4\choose 2}}{{7\choose 2}}= \frac{6}{21}.}\)
\(\displaystyle{ P(bb|II )= \frac{{2\choose 2}}{{7\choose 2}}= \frac{1}{21}.}\)
\(\displaystyle{ P(bc|II) = \frac{{2\choose 1}\cdot {5\choose 1}}{{7\choose 2}}= \frac{10}{21}.}\)
\(\displaystyle{ ] P(cc|II)= \frac{{5\choose 2}}{{7\choose 2}}= \frac{10}{21}.}\)
\(\displaystyle{ P(bb|III )= 0.}\)
\(\displaystyle{ P(bc|III) = \frac{{1\choose 1}\cdot {6\choose 1}}{{7\choose 2}}= \frac{6}{21}.}\)
\(\displaystyle{ P(cc|III)= \frac{{6\choose 2}}{{7\choose 2}}= \frac{15}{21}.}\)
a)
\(\displaystyle{ P(A) = P(I)\cdot P(bc |I) + P(II)\cdot P(bc| II) +P(III)\cdot P(bc| III)= \frac{1}{6}\cdot \frac{12}{21} + \frac{3}{6}\cdot \frac{10}{21} + \frac{2}{6}\cdot \frac{6}{21}= \frac{54}{126}= \frac{3}{7}.}\)
b)
\(\displaystyle{ P(B) = P(I)\cdot P(bb |I) + P(II)\cdot P(bb| II) +P(III)\cdot P(bb| III)= \frac{1}{6}\cdot \frac{3}{21} + \frac{3}{6}\cdot \frac{1}{21} + \frac{2}{6}\cdot 0 = \frac{6}{126}= \frac{1}{21}.}\)
Interpretacja otrzymanych wartości prawdopodobieństw
W wyniku realizacja doświadczenia losowego należy oczekiwać, że w około \(\displaystyle{ 43\%}\) ogólnej liczbie jego wyników otrzymamy dwie kule różnokolorowe, zaś w około \(\displaystyle{ 4,8\%}\) obie kul białe.