Witam, mam problem z zadaniem z prawdopodobieństwa całkowitego. Wiem, też ze jakos to sie da zrobić drzewkiem, lecz wtedy tych gałęzi będzie multum.
Polecenie brzmi:
W każde z trzech urn znajduje się 5 kul. W pierwszej urnie: 4 białe i 1 czarne, w drugiej urnie: 2 białe i 3 zielone, w trzeciej urnie: 3 zielone i 2 czarne. Z każdej urny losujemy po jednej kuli, i nie oglądająć jej, wkładamy do 4 - pustej urny. Następnie z tej urny losujemy jedną kulę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, ze w wyniku takiego doświadczenia wylosowana kula z czwartej urny kula będzie zielona.
Rozpisałem sobie to wszystko czyt.
A- wylosowanie kuli zielonej z 4 urny
B1- wylosowanie kuli białej z urny 1
B2- wylosowanie kuli czarnej z urny 1
B3 - wylosowanie kuli białej z urny 2
B4 - wylosowanie kuli zielonej z urny 2
B5 - wylosowanie kuli zielonej z urny 3
B6 - wylosowanie kuli czarnej z urny 3
A/B1 - wylosowanie kuli zielonej z 4 urny, pod warunkiem wylosowania kuli białej z urny 1
A/B2 - wylosowanie kuli zielonej z 4 urny, pod warunkiem wylosowania kuli bczarnej z urny 1
....
....
....
i tak dalej.
Później:
P(B1)= 4/5
P(B2)=1/5
....
....
....
Następnie
P(A/B1)= TEGO JUZ NIE POTRAFIE
P(A/B2)=
No i później podstawić do wzoru na prawd. całkowite.
Problem polega na tym, ze gdybyśmy odejmowali z urny 1 założmy biała i tak kazdej, to bym wiedział ile jets dokładnie z każdych kul. Takie zadania robiłem i takie umiem.
Tutaj niestety trzeba rozpisać przypadki czyt.:
1) Wylosowaliśmy 4B, 2B, 3Z
2) Wylosowaliśmy 4B, 2B,2 CZ
3) 4B, 3Z, 3Z
4) 4B, 3Z, 2CZ
5) 1CZ, 2B, 3Z
6) 1CZ, 2B, 3CZ
7) 1CZ, 3Z, 3Z
8) 1CZ, 3Z, 3CZ
I tutaj pytanie, jak dalej to robić moim tokiem, tzn. zapisać te wszystkie warunki co to jest A, B1, B2 etc.
Potrzebuję tego na jutro.
Jeżeli ktoś ma chwilkę zerknąć, to byłbym wdzięczny.
Pozdro!
Prawdopodobieństwo całkowite - 4 urny
-
kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8581
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3349 razy
Prawdopodobieństwo całkowite - 4 urny
Ja bym robił tak:
Ponieważ interesuje nas wyciągniecie zielonej z czwartej urny to kiedy w niej :
a) będą trzy zielone? Nigdy.
b) będą dwie zielone? Gdy z drugiej i trzeciej urny wyciągniemy zieloną.
\(\displaystyle{ P(2z)=1 \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{3}{5}= \frac{9}{25}}\)
c) będzie jedna zielona? Gdy tylko z drugiej lub tylko z trzeciej urny wyciągniemy zieloną.
\(\displaystyle{ P(1z)=1 \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{5}+1 \cdot \frac{2}{5} \cdot \frac{3}{5}= \frac{12}{25}}\)
d) nie będzie kul zielonych? W pozostałych przypadkach
\(\displaystyle{ P(0z)=1-P(2z)-P(1z)= \frac{4}{25}}\)
Szukane prawdopodobieństwo wyciągnięcia zielonej z czwartej urny to
\(\displaystyle{ P(zielona)=P(2z) \cdot \frac{2}{3}+P(1z) \cdot \frac{1}{3}+ P(0z) \cdot \frac{0}{3} = \frac{9}{25} \cdot \frac{2}{3} + \frac{12}{25} \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{5}}\)
Ponieważ interesuje nas wyciągniecie zielonej z czwartej urny to kiedy w niej :
a) będą trzy zielone? Nigdy.
b) będą dwie zielone? Gdy z drugiej i trzeciej urny wyciągniemy zieloną.
\(\displaystyle{ P(2z)=1 \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{3}{5}= \frac{9}{25}}\)
c) będzie jedna zielona? Gdy tylko z drugiej lub tylko z trzeciej urny wyciągniemy zieloną.
\(\displaystyle{ P(1z)=1 \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{5}+1 \cdot \frac{2}{5} \cdot \frac{3}{5}= \frac{12}{25}}\)
d) nie będzie kul zielonych? W pozostałych przypadkach
\(\displaystyle{ P(0z)=1-P(2z)-P(1z)= \frac{4}{25}}\)
Szukane prawdopodobieństwo wyciągnięcia zielonej z czwartej urny to
\(\displaystyle{ P(zielona)=P(2z) \cdot \frac{2}{3}+P(1z) \cdot \frac{1}{3}+ P(0z) \cdot \frac{0}{3} = \frac{9}{25} \cdot \frac{2}{3} + \frac{12}{25} \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{5}}\)
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Prawdopodobieństwo całkowite - 4 urny
Jednym z podstawowych zadań Rachunku Prawdopodobieństwa jest modelowanie doświadczeń losowych.
Doświadczenie losowe opisane w zadaniu jest doświadczeniem 4-etapowym.
Etap 1 : losowanie kuli z urny pierwszej i nie oglądając jej przełożenie urny 4.
Etap 2 : losowanie kuli z urny drugiej i nie oglądając jej przełożenie do urny 4.
Etap 3 : losowanie kuli z urny trzeciej i nie oglądając jej przełożenie do urny 4.
Etap 4: losowanie kuli z urny 4.
Oznaczenia zdarzeń losowych:
b -" wylosowanie kuli białej"
c -" wylosowanie kuli czarnej"
z -"wylosowanie kuli zielonej"
Z - " wylosowana z urny 4 kula jest zielona"
Etap 1
\(\displaystyle{ \Omega_{1} = \left\{ b, c \right\}, \ \ P_{1}(b) = \frac{4}{5}, \ \ P_{1}(c) = \frac{1}{5}.}\)
Etap 2
\(\displaystyle{ \Omega_{2} = \left\{ b, z \right\}, \ \ P_{2}(b) = \frac{2}{5}, \ \ P_{2}(z) = \frac{3}{5}.}\)
Etap 3
\(\displaystyle{ \Omega_{3} = \left\{ z, c \right\}, \ \ P_{3}(z) = \frac{3}{5}, \ \ P_{3}(c) = \frac{2}{5}.}\)
Etap 4
\(\displaystyle{ \Omega_{4} = \Omega_{1}\times \Omega_{2} \times \Omega_{3}= \left\{ (bbz), (bbc), (bzz), (bzc), (cbz), (cbc), (czz), (czc)\right\} .}\)
\(\displaystyle{ P((bbz)) =P_{1}(b)\cdot P_{2}(b)\cdot P_{3}(z)= \frac{4}{5}\cdot \frac{2}{5}\cdot \frac{3}{5} = \frac{24}{125}.}\)
\(\displaystyle{ P((bbc)) =P_{1}(b)\cdot P_{2}(b)\cdot P_{3}(c)= \frac{4}{5}\cdot \frac{2}{5}\cdot \frac{2}{5} = \frac{16}{125}.}\)
\(\displaystyle{ P((bzz)) =P_{1}(b)\cdot P_{2}(z)\cdot P_{3}(z)= \frac{4}{5}\cdot \frac{3}{5}\cdot \frac{3}{5} = \frac{36}{125}.}\)
\(\displaystyle{ P((bzc)) =P_{1}(b)\cdot P_{2}(z)\cdot P_{3}(c)= \frac{4}{5}\cdot \frac{3}{5}\cdot \frac{2}{5} = \frac{24}{125}.}\)
\(\displaystyle{ P((cbz)) =P_{1}(c)\cdot P_{2}(b)\cdot P_{3}(z)= \frac{1}{5}\cdot \frac{2}{5}\cdot \frac{3}{5} = \frac{6}{125}.}\)
\(\displaystyle{ P((cbc)) =P_{1}(c)\cdot P_{2}(b)\cdot P_{3}(c)= \frac{1}{5}\cdot \frac{2}{5}\cdot \frac{2}{5} = \frac{4}{125}.}\)
\(\displaystyle{ P((czz)) =P_{1}(c)\cdot P_{2}(z)\cdot P_{3}(z)= \frac{1}{5}\cdot \frac{3}{5}\cdot \frac{3}{5} = \frac{9}{125}.}\)
\(\displaystyle{ P((czc)) =P_{1}(c)\cdot P_{2}(z)\cdot P_{3}(c)= \frac{1}{5}\cdot \frac{3}{5}\cdot \frac{2}{5} = \frac{6}{125}.}\)
\(\displaystyle{ P(Z) = P((bbz))\cdot P(z|(bbz)+ P((bzz))\cdot P(z|(bzz)) + P((bzc))\cdot P(z|(bzc))+ P((cbz))\cdot P(z|(bzc)) + P((czz))\cdot P(z| (czz))+ P((czc))\cdot P(z|(czc)).}\)
\(\displaystyle{ P(Z) = \frac{24}{125}\cdot \frac{1}{3}+ \frac{36}{125}\cdot \frac{2}{3}+ \frac{24}{125}\cdot \frac{1}{3}+ \frac{6}{125}\cdot \frac{1}{3} + \frac{9}{125}\cdot \frac{2}{3}+ \frac{6}{125}\cdot \frac{1}{3}= \frac{24}{375} + \frac{72}{375}+ \frac{24}{375}+\frac{6}{375}+ \frac{18}{375} + \frac{6}{375} = \frac{150}{375}= \frac{2}{5}.}\)
Interpretacja otrzymanej wartości prawdopodobieństwa
W wyniku realizacji 4-etapowego doświadczenia losowego, należy oczekiwać, że w \(\displaystyle{ 40\%}\) ogólnej liczbie jego wyników wylosujemy z urny 4 kulę zieloną.
Doświadczenie losowe opisane w zadaniu jest doświadczeniem 4-etapowym.
Etap 1 : losowanie kuli z urny pierwszej i nie oglądając jej przełożenie urny 4.
Etap 2 : losowanie kuli z urny drugiej i nie oglądając jej przełożenie do urny 4.
Etap 3 : losowanie kuli z urny trzeciej i nie oglądając jej przełożenie do urny 4.
Etap 4: losowanie kuli z urny 4.
Oznaczenia zdarzeń losowych:
b -" wylosowanie kuli białej"
c -" wylosowanie kuli czarnej"
z -"wylosowanie kuli zielonej"
Z - " wylosowana z urny 4 kula jest zielona"
Etap 1
\(\displaystyle{ \Omega_{1} = \left\{ b, c \right\}, \ \ P_{1}(b) = \frac{4}{5}, \ \ P_{1}(c) = \frac{1}{5}.}\)
Etap 2
\(\displaystyle{ \Omega_{2} = \left\{ b, z \right\}, \ \ P_{2}(b) = \frac{2}{5}, \ \ P_{2}(z) = \frac{3}{5}.}\)
Etap 3
\(\displaystyle{ \Omega_{3} = \left\{ z, c \right\}, \ \ P_{3}(z) = \frac{3}{5}, \ \ P_{3}(c) = \frac{2}{5}.}\)
Etap 4
\(\displaystyle{ \Omega_{4} = \Omega_{1}\times \Omega_{2} \times \Omega_{3}= \left\{ (bbz), (bbc), (bzz), (bzc), (cbz), (cbc), (czz), (czc)\right\} .}\)
\(\displaystyle{ P((bbz)) =P_{1}(b)\cdot P_{2}(b)\cdot P_{3}(z)= \frac{4}{5}\cdot \frac{2}{5}\cdot \frac{3}{5} = \frac{24}{125}.}\)
\(\displaystyle{ P((bbc)) =P_{1}(b)\cdot P_{2}(b)\cdot P_{3}(c)= \frac{4}{5}\cdot \frac{2}{5}\cdot \frac{2}{5} = \frac{16}{125}.}\)
\(\displaystyle{ P((bzz)) =P_{1}(b)\cdot P_{2}(z)\cdot P_{3}(z)= \frac{4}{5}\cdot \frac{3}{5}\cdot \frac{3}{5} = \frac{36}{125}.}\)
\(\displaystyle{ P((bzc)) =P_{1}(b)\cdot P_{2}(z)\cdot P_{3}(c)= \frac{4}{5}\cdot \frac{3}{5}\cdot \frac{2}{5} = \frac{24}{125}.}\)
\(\displaystyle{ P((cbz)) =P_{1}(c)\cdot P_{2}(b)\cdot P_{3}(z)= \frac{1}{5}\cdot \frac{2}{5}\cdot \frac{3}{5} = \frac{6}{125}.}\)
\(\displaystyle{ P((cbc)) =P_{1}(c)\cdot P_{2}(b)\cdot P_{3}(c)= \frac{1}{5}\cdot \frac{2}{5}\cdot \frac{2}{5} = \frac{4}{125}.}\)
\(\displaystyle{ P((czz)) =P_{1}(c)\cdot P_{2}(z)\cdot P_{3}(z)= \frac{1}{5}\cdot \frac{3}{5}\cdot \frac{3}{5} = \frac{9}{125}.}\)
\(\displaystyle{ P((czc)) =P_{1}(c)\cdot P_{2}(z)\cdot P_{3}(c)= \frac{1}{5}\cdot \frac{3}{5}\cdot \frac{2}{5} = \frac{6}{125}.}\)
\(\displaystyle{ P(Z) = P((bbz))\cdot P(z|(bbz)+ P((bzz))\cdot P(z|(bzz)) + P((bzc))\cdot P(z|(bzc))+ P((cbz))\cdot P(z|(bzc)) + P((czz))\cdot P(z| (czz))+ P((czc))\cdot P(z|(czc)).}\)
\(\displaystyle{ P(Z) = \frac{24}{125}\cdot \frac{1}{3}+ \frac{36}{125}\cdot \frac{2}{3}+ \frac{24}{125}\cdot \frac{1}{3}+ \frac{6}{125}\cdot \frac{1}{3} + \frac{9}{125}\cdot \frac{2}{3}+ \frac{6}{125}\cdot \frac{1}{3}= \frac{24}{375} + \frac{72}{375}+ \frac{24}{375}+\frac{6}{375}+ \frac{18}{375} + \frac{6}{375} = \frac{150}{375}= \frac{2}{5}.}\)
Interpretacja otrzymanej wartości prawdopodobieństwa
W wyniku realizacji 4-etapowego doświadczenia losowego, należy oczekiwać, że w \(\displaystyle{ 40\%}\) ogólnej liczbie jego wyników wylosujemy z urny 4 kulę zieloną.