Działania na zbiorach

[damianb543]

Czy wzór na \(\displaystyle{ P(A' \cup B)=1-P(A)}\) jest prawidłowy?

[kerajs]

Tylko w sytuacji gdy \(\displaystyle{ B \subset A'}\).
Ogólnie nie jest to prawda.

[damianb543]

Mam zadanie: Zdarzenia A i B są jednakowo prawdopodobne, prawdopodobieństwo zdarzenia \(\displaystyle{ A \cup B}\) jest równe \(\displaystyle{ \frac{7}{12}}\) a prawdopodobieństwo zdarzenia \(\displaystyle{ A \cap B}\) równe jest \(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\). Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(\displaystyle{ A' \cup B}\)

[kerajs]

1)
\(\displaystyle{ P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)\\
\frac{7}{12} =P(A)+P(A)- \frac{1}{4}\\
P(A)=...}\)

2)
\(\displaystyle{ P(A' \cup B)=P(A')+P(A \cap B)=...}\)

PS
Polecam sprawdzenie prawdziwości powyższych formuł na diagramach Venna.

[damianb543]

nie miałem żadnych diagramów Venna przecież P(A') to jest wszystko oprócz P(A) czyli dodajemy czesc wspolna A i B?

-- 19 mar 2017, o 13:14 --

1)
\(\displaystyle{ P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)\\
\frac{7}{12} =P(A)+P(A)- \frac{1}{4}\\
P(A)=...}\)

2)
\(\displaystyle{ P(A' \cup B)=P(A')+P(A \cap B)=...}\)

PS
Polecam sprawdzenie prawdziwości powyższych formuł na diagramach Venna.

W odpowiedzi wychodzi \(\displaystyle{ \frac{5}{6}}\) Po co dodaje \(\displaystyle{ P(A \cap B)}\) ta część leży w zbiorze A więc powinnieneś odjac.

[kerajs]

I diagramy Venna miałeś i ułamki miałeś, ale udajesz że jednak nie.

\(\displaystyle{ P(A)=P(B)= \frac{1}{2}\left( \frac{7}{12}+ \frac{1}{4} \right)= \frac{5}{12} \\
P(A' \cup B)=P(A')+P(A \cap B)=1- \frac{5}{12}+ \frac{1}{4}= \frac{12-5+3}{12}= \frac{10}{12}= \frac{5}{6}}\)

[damianb543]

I diagramy Venna miałeś i ułamki miałeś, ale udajesz że jednak nie.

\(\displaystyle{ P(A)=P(B)= \frac{1}{2}\left( \frac{7}{12}+ \frac{1}{4} \right)= \frac{5}{12} \\
P(A' \cup B)=P(A')+P(A \cap B)=1- \frac{5}{12}+ \frac{1}{4}= \frac{12-5+3}{12}= \frac{10}{12}= \frac{5}{6}}\)

Dlaczego dodajesz jeszcze czesc wspolna?

[kerajs]

Sam tytuł Twojego tematu sugeruje że należy rysować diagramy Venna.

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ \begin{tikzpicture}
\draw (0,0)--(8,0)--(8,6)--(0,6)--(0,0);
\draw[blue](3,3)circle(2);
\draw[red](5,3)circle(2);
\draw (4,3) node {$ \frac{1}{4} $};
\draw (2,3) node {$ \frac{1}{6} $};
\draw (6,3) node {$ \frac{1}{6} $};
\draw (1.5,4.8) node {$ A $};
\draw (6.5,4.8) node {$ B $};
\end{tikzpicture}}\)

Moim zdaniem \(\displaystyle{ A' \cup B}\) wygląda tak:

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ \begin{tikzpicture}

\fill[yellow] (0,0)--(8,0)--(8,6)--(0,6)--(0,0);
\fill[white](3,3)circle(2);
\fill[yellow](5,3)circle(2);
\draw[blue](3,3)circle(2);
\draw (0,0)--(8,0)--(8,6)--(0,6)--(0,0);
\draw[red](5,3)circle(2);
\draw (4,3) node {$ \frac{1}{4} $};
\draw (2,3) node {$ \frac{1}{6} $};
\draw (6,3) node {$ \frac{1}{6} $};
\draw (1.5,4.8) node {$ A $};
\draw (6.5,4.8) node {$ B $};
\end{tikzpicture}}\)

Stąd wszystkie wzory, obliczenia i wyniki.