Wybieramy liczby

[poetaopole]

Jest to wydaje się nietrudne zadanie z obowiązującego obecnie podręcznika NE, ale ma na (porządnych) stronach internetowych zadziwiająco tyle złych rozwiązań, że postanowiłem spróbować z Waszą pomocą rozwiązać je poprawnie.

Spośród liczb: 1, 2, 3, ..., 99 losujemy jedną liczbę, a następnie z pozostałych - drugą. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzeń:
A - za pierwszym razem wylosowano liczbę parzystą
B - za drugim razem wylosowano liczbę parzystą
C - obie wylosowane liczby są parzyste
D - suma wylosowanych liczb jest równa 100.

Tak więc (proszę o sprawdzenie):
Parzystych w zbiorze mamy \(\displaystyle{ P=49}\), a nieparzystych \(\displaystyle{ N=50}\). Moc omegi przy dwóch losowaniach bez zwracania może być (w zależności od przyjętej kombinatoryki) \(\displaystyle{ 99 \cdot 98}\)
a) Za pierwszym razem wylosowaliśmy parzystą, za drugim razem dowolną, a zatem moc wyniesie \(\displaystyle{ 49 \cdot 98}\). Prawdopodobieństwo \(\displaystyle{ P(A)= \frac{49}{99}}\).
b) Za drugim razem wylosowaliśmy parzystą (intuicyjnie wynik powinien być taki sam jak w (a)). Wydaje się, że należy rozróżnić 2 przypadki: za pierwszym i za drugim razem wylosowaliśmy parzystą, czyli moc wyniesie \(\displaystyle{ 49 \cdot 48}\) lub za pierwszym razem wylosowaliśmy nieparzystą, a za drugim razem parzystą, czyli moc wyniesie \(\displaystyle{ 50 \cdot 49}\) i wyniki zsumować. Prawdopodobieństwo \(\displaystyle{ P(B)= \frac{49}{99}}\)
c) W obu przypadkach wylosowaliśmy parzyste, czyli moc wyniesie \(\displaystyle{ 49 \cdot 48}\). Prawdopodobieństwo \(\displaystyle{ P(C)= \frac{8}{33}}\)
d) Par dających sumę 100 jest 98, parę (50,50) oczywiście odrzucamy. Prawdopodobieństwo \(\displaystyle{ P(D)=\frac{1}{99}}\).

Może ktoś sprawdzić moje rozumowanie? Odpowiedzi w podręczniku się zgadzają.

[Peter Zof]

Jest ok, formalnie w (b) można to rozumowanie zapisać jako prawdopodobieństwo warunkowe. Generalnie jednak (moim zdaniem) rozumowanie jest OK.