Dowód z Sigma-algebrą

[nabzdyczony]

Niech \(\displaystyle{ S}\) to sigma-algebra podzbiorów przeliczalnego zbioru \(\displaystyle{ \Omega}\). Wykaż, że jeśli dla każdego \(\displaystyle{ \omega \in \Omega, \left\{ \omega \right\} \in S}\), to \(\displaystyle{ S= 2^{\Omega}}\)

Zastanawiam się i myślę, że teza wynika bezpośrednio z definicji sigmy-algebry, mianowicie suma dowolnych zbiorów należących do sigma algebry także należy do niej. Nie wiem jak to zapisać. Ma ktoś jakiś pomysł?

[Premislav]

Ponieważ \(\displaystyle{ \Omega}\) jest przeliczalny, więc dowolny podzbiór \(\displaystyle{ A \subset \Omega}\) jest przeliczalny i wtedy \(\displaystyle{ A= \bigcup_{\omega \in A}^{} \left\{ \omega\right\}}\), mamy tu co najwyżej przeliczalną sumę elementów \(\displaystyle{ S}\), więc i \(\displaystyle{ A \in S}\), bo \(\displaystyle{ S}\) jest \(\displaystyle{ \sigma}\) algebrą.