W urnie jest M białych i N czarnych kul. Dwaj gracze na przemian losują z urny, aż do momentu kiedy jedne z nich wyciągnie kulę białą. Obliczyć prawdopodobieństwa następujących zdarzeń:
a) wygra gracz który zaczynał grę (numer 1)
b) wygra gracz numer 2
c) gra się nie skończy
d) gracz numer 1 wygra co najmniej 3 z 5 rozgrywek
Prawdopodobnieństwo/ Twierdzenie Bayesa
-
Mortify
- Użytkownik
- Posty: 768
- Rejestracja: 22 lis 2007, o 22:39
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Biała Podlaska / MIMUW
- Podziękował: 27 razy
- Pomógł: 164 razy
Prawdopodobnieństwo/ Twierdzenie Bayesa
a)
\(\displaystyle{ P(B) = \frac{M}{M+N}, \ P(Cz) = \frac{N}{M+N}}\)
\(\displaystyle{ P(I)}\) - prawdopodobieństwo, że wygra gracz I
Zauważ, że aby wygrał gracz I, to musi w pierwszym ruchu trafić na kulę białą LUB musi wylosować czarną, potem II gracz musi wylosować czarną, a następnie I trafia na białą LUB I - czarna, II - czarna, I - czarna, II - czarna, I - biała ITD, zatem
\(\displaystyle{ P(I) = \sum_{k=0}^{\infty} P(Cz)^{2k} P(B) = \sum_{k=0}^{\infty}(\frac{N}{M+N})^{2k} \frac{M}{M+N} = \frac{1}{1-(\frac{N}{M+N})^2}\cdot \frac{M}{M+N} = \frac{M+N}{M+2N}}\)
Przy założeniu, że \(\displaystyle{ M\neq 0}\)
c) Gra się nie skończy, gdy będą losowane same kule czarne, czyli:
\(\displaystyle{ P(c)) = \lim_{n\to\infty} (\frac{N}{M+N})^n = \begin{cases} 0, \ M\neq 0 \\ 1, \ M=0\end{cases}}\)
b) Zatem skoro dla \(\displaystyle{ M\neq 0}\) gra się skończy, to znaczy, że albo wygra gracz I, albo II, zatem
\(\displaystyle{ P(II) = 1- P(I) = 1 - \frac{M+N}{M+2N} = \frac{N}{M+2N}}\)
\(\displaystyle{ P(B) = \frac{M}{M+N}, \ P(Cz) = \frac{N}{M+N}}\)
\(\displaystyle{ P(I)}\) - prawdopodobieństwo, że wygra gracz I
Zauważ, że aby wygrał gracz I, to musi w pierwszym ruchu trafić na kulę białą LUB musi wylosować czarną, potem II gracz musi wylosować czarną, a następnie I trafia na białą LUB I - czarna, II - czarna, I - czarna, II - czarna, I - biała ITD, zatem
\(\displaystyle{ P(I) = \sum_{k=0}^{\infty} P(Cz)^{2k} P(B) = \sum_{k=0}^{\infty}(\frac{N}{M+N})^{2k} \frac{M}{M+N} = \frac{1}{1-(\frac{N}{M+N})^2}\cdot \frac{M}{M+N} = \frac{M+N}{M+2N}}\)
Przy założeniu, że \(\displaystyle{ M\neq 0}\)
c) Gra się nie skończy, gdy będą losowane same kule czarne, czyli:
\(\displaystyle{ P(c)) = \lim_{n\to\infty} (\frac{N}{M+N})^n = \begin{cases} 0, \ M\neq 0 \\ 1, \ M=0\end{cases}}\)
b) Zatem skoro dla \(\displaystyle{ M\neq 0}\) gra się skończy, to znaczy, że albo wygra gracz I, albo II, zatem
\(\displaystyle{ P(II) = 1- P(I) = 1 - \frac{M+N}{M+2N} = \frac{N}{M+2N}}\)