Prawdopodobieństwo wyprodukowania, zmienne losowe

[Kazek8]

Witam serdecznie mam problem z poniższym zadaniem. Czy można prosić o pomoc ?

Z góry dziekuję i pozdrawiam

W sposób losowy z wyprodukowanej partii „listków” pewnych tabletek probrano \(\displaystyle{ 49}\) sztuk. Waga kazdego listka jest zmienna losowa o wartosci sredniej równej \(\displaystyle{ 10\,g}\) i odchyleniu standardowym \(\displaystyle{ 0,1\,g}\). Obliczyc prawdopodobienstwo, ze całkowita waga wylosowanych listków tabletek jest zawarta miedzy \(\displaystyle{ 489\,g}\) i \(\displaystyle{ 491\,g}\).

Ja próbuje rozwiązać je tak:

Normalny standaryzowany rozkład \(\displaystyle{ N (10;0,1)}\)
\(\displaystyle{ \frac{489}{49}= 9,9796}\)

\(\displaystyle{ \frac{491}{49}=10,0204}\)

\(\displaystyle{ P (9,9796\le X\le 10,0204) =\frac{9,9796-10}{0,1}\le x\le \frac{10,0204-10}{0,1}}\)

\(\displaystyle{ \phi (-2,04) - \phi (0,204)= -0,560223}\)

Ale wydaje mi się że coś robie źle...

[miodzio1988]

No ujemna liczba Ci nie może wyjść

[Kazek8]

Pytanie co robie źle i jak to zrobić dobrze ?

[miodzio1988]

Może pokaż jakie wartości z tablic odczytujesz

[Kazek8]

\(\displaystyle{ \phi (-2,04) - \phi (0,204)}\)

W nawiasach z których pól dystrybuanty standardowego rozkładu normalnego biorę wartości

1- 0,97932 (wiersz 2,0 kolumna 0,04) - 0,59483 (wiersz 0,2 kolumna 0,04) = -0,57415

Co liczę źle ?

[miodzio1988]

\(\displaystyle{ \phi (0,204)-\phi (-2,04)}\)

powinieneś liczyć

[Kazek8]

\(\displaystyle{ \phi (0,204)-\phi (-2,04)}\)

0,580823 - 0,0206752 = 0,5601478

czyli prawdopodobieństwo 56 %

Czy teraz jest dobrze zadanie rozwiązane ? Bo coś wydaje mi się że prawdopodobieństwo w tym przypadku powinno być bliższe 100 %

[Premislav]

Dobrze Ci się wydaje (tj. że coś tu nie gra), nie jest poprawnie. Ja bym skorzystał z tego, że
\(\displaystyle{ \Phi(-x)=1-\Phi(x)}\), gdzie \(\displaystyle{ \Phi}\) to dystrybuanta standardowego rozkładu normalnego.
Stąd otrzymujesz: \(\displaystyle{ \Phi(2,04)-\Phi(-2,04)=2\Phi(2,04)-1}\)
no i wystarczy odczytać w tablicach \(\displaystyle{ \Phi(2,04)}\) (ale może napisz, co Ci w takim razie wyjdzie, bo mam wrażenie, że jakoś źle to odczytujesz z tablic rozkładu normalnego, skoro tak Ci wychodzi. Zapewniam, że \(\displaystyle{ \Phi(2,04)}\) to zdecydowanie więcej niż jakieś \(\displaystyle{ 0,58}\), to widać nawet z wykresu.

[miodzio1988]

Dobrze Ci się wydaje (tj. że coś tu nie gra), nie jest poprawnie. Ja bym skorzystał z tego, że
\(\displaystyle{ \Phi(-x)=1-\Phi(x)}\), gdzie \(\displaystyle{ \Phi}\) to dystrybuanta standardowego rozkładu normalnego.
Stąd otrzymujesz: \(\displaystyle{ \Phi(2,04)-\Phi(-2,04)=2\Phi(2,04)-1}\)
no i wystarczy odczytać w tablicach \(\displaystyle{ \Phi(2,04)}\) (ale może napisz, co Ci w takim razie wyjdzie, bo mam wrażenie, że jakoś źle to odczytujesz z tablic rozkładu normalnego, skoro tak Ci wychodzi. Zapewniam, że \(\displaystyle{ \Phi(2,04)}\) to zdecydowanie więcej niż jakieś \(\displaystyle{ 0,58}\), to widać nawet z wykresu.

No tylko, że w argumentach ma dwie inne liczby

\(\displaystyle{ \phi (0,204)-\phi (-2,04)}\)

\(\displaystyle{ 0,204}\) i \(\displaystyle{ -2,04}\)

Kazek8 masz ok te obliczenia.

Tutaj zajmowaliśmy się końcówką, ja bym zupełnie inaczej robił od początku szczerze mówiąc

[Premislav]

Słuszna uwaga, dzięki. Te liczby były zbyt podobne optycznie.

[miodzio1988]

No zdarza się. Natomiast Kazek8, dobrze jest policzona końcówka, ale zadanie jest źle zrobione

Z CTG skorzystaj wtedy wychodzi \(\displaystyle{ 0.8468725}\)

[Kazek8]

Miodzio prosiłbym o więcej szczegółów

[miodzio1988]

No napisałem co masz zrobić, zerknij na CTG i podstaw co trzeba

[Premislav]

Masz niezależne zmienne losowe \(\displaystyle{ X_1, X_2, \dots X_{49}}\) o jednakowym rozkładzie z wartością oczekiwaną \(\displaystyle{ 10}\) i odchyleniem standardowym \(\displaystyle{ 0,1}\).
Korzystając z tego, oblicz \(\displaystyle{ \mathbf{E}\left( X_1+\dots+X_{49}\right)}\) (wartość oczekiwana sumy to suma wartości oczekiwanych), no i odchylenie standardowe tej sumy (wariancja sumy skończenie wielu niezależnych zmiennych losowych to suma ich wariancji, a odchylenie standardowe to jest pierwiastek kwadratowy z wariancji). No i podstawiasz do wzorku.

[miodzio1988]

CTG mówi, ze

\(\displaystyle{ \frac{ \sum_{}^{} X_i -n \cdot m}{\sigma \sqrt{n} }}\)

przy dużych \(\displaystyle{ n}\) ma rozkład \(\displaystyle{ N(0,1)}\)

Podstawiasz i masz co trzeba