W każdej z \(\displaystyle{ n}\) urn jest \(\displaystyle{ m}\) białych i \(\displaystyle{ k}\) czarnych kul. Z pierwszej urny losujemy kulę i przekładamy do drugiej. Następnie z drugiej urny losujemy kulę i przekładamy ją do trzeciej itd. Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania białej kuli po takim przekładaniu?
Sprawdziłem sobie dwa przypadki tj. \(\displaystyle{ n=2}\) i \(\displaystyle{ n=3}\) i zauważyłem, że prawdopodobieństwo nie jest zależne od ilości urn i wynosi \(\displaystyle{ \frac{m}{m+k}}\), lecz nie wiem jak mam go udowodnić.
Losowanie kuli
-
Slup
- Użytkownik
- Posty: 794
- Rejestracja: 27 maja 2016, o 20:49
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 23 razy
- Pomógł: 156 razy
Losowanie kuli
Przez indukcję.
Niech \(\displaystyle{ p_i}\) oznacza prawdopodobieństwo, że z \(\displaystyle{ i}\)-tej urny wyjęto kulę białą, gdzie \(\displaystyle{ 1\leq i\leq n}\). To teraz dla \(\displaystyle{ 1\leq i\leq n}\) mamy
\(\displaystyle{ p_{i+1}=\frac{m+1}{m+k+1}\cdot p_i+\frac{m}{m+k+1}\cdot (1-p_i)=\frac{(m+1)p_i+m-mp_i}{m+k+1}=}\)
\(\displaystyle{ =\frac{p_i+m}{m+k+1}}\)
Jeżeli założymy, że \(\displaystyle{ p_i=\frac{m}{m+k}}\), to dostajemy
\(\displaystyle{ p_{i+1}=\frac{p_i+m}{m+k+1}=\frac{1}{m+k+1}\cdot \left(\frac{m}{m+k}+m\right)=\frac{m}{m+k+1}\cdot \frac{1+m+k}{m+k}=\frac{m}{m+k}}\)
Niech \(\displaystyle{ p_i}\) oznacza prawdopodobieństwo, że z \(\displaystyle{ i}\)-tej urny wyjęto kulę białą, gdzie \(\displaystyle{ 1\leq i\leq n}\). To teraz dla \(\displaystyle{ 1\leq i\leq n}\) mamy
\(\displaystyle{ p_{i+1}=\frac{m+1}{m+k+1}\cdot p_i+\frac{m}{m+k+1}\cdot (1-p_i)=\frac{(m+1)p_i+m-mp_i}{m+k+1}=}\)
\(\displaystyle{ =\frac{p_i+m}{m+k+1}}\)
Jeżeli założymy, że \(\displaystyle{ p_i=\frac{m}{m+k}}\), to dostajemy
\(\displaystyle{ p_{i+1}=\frac{p_i+m}{m+k+1}=\frac{1}{m+k+1}\cdot \left(\frac{m}{m+k}+m\right)=\frac{m}{m+k+1}\cdot \frac{1+m+k}{m+k}=\frac{m}{m+k}}\)