Witam,
Niedawno musiałem zrobić zadanie, niestety nie jestem pewien tego czy dobrze to wykonałem.
Treść zadania
W dwóch urnach znajdują się po trzy kule, w pierwszej urnie są dwie kule białe i jedna czarna, w drugiej natomiast są dwie kule czarne i jedna biała. Z urny pierwszej losujemy kule i przekładamy do drugiej. Z urny drugiej losujemy kule. Jakie jest prawdopodobieństwo, że będzie to kula biała.
Okazało się, że wylosowana kula jest biała jakie jest prawdopodobieństwo, że z pierwszej urny do drugiej przełożono czarną kulę.
Poniżej znajduje się link do zdjęcia.
[...]
Proszę o pomoc.
Prawdopodobienstwo całkowite i wzór Bayesa
Prawdopodobienstwo całkowite i wzór Bayesa
Ostatnio zmieniony 1 mar 2017, o 19:22 przez AiDi, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Nieregulaminowy zapis - obrazki zamiast zapisu w LaTeX-u.
Powód: Nieregulaminowy zapis - obrazki zamiast zapisu w LaTeX-u.
Prawdopodobienstwo całkowite i wzór Bayesa
Zgadza się, już poprawiłem. Dziękuję za uwagę.a4karo pisze:Przepisz jeszcze raz kompletne zadanie. W podanej treści nic sie nie przekłada.
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7918
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Prawdopodobienstwo całkowite i wzór Bayesa
Doświadczenie losowe jest dwuetapowe:
Etap 1
- losowanie kuli z urny 1 i przełożenie do urny 2
Etap 2
- losowanie kuli z urny 2.
Etap 1
\(\displaystyle{ \Omega_{1}= \left\{ b, c\right\}, \ \ P_{1}(b ) = \frac{2}{3},\ \ P_{1}(c) = \frac{1}{3}.}\)
Etap 2
\(\displaystyle{ \Omega_{2} = \left\{ b, c \right\} , \ \ P_{2|b}(b)= \frac{3}{4}, \ \ P_{2|b}(c)= \frac{1}{4}, \ \ P_{2|c}(b) = \frac{2}{4}, \ \ P_{2|c}(c) = \frac{2}{4}.}\)
Oznaczenia zdarzeń:
\(\displaystyle{ B}\) - wylosowana z urny drugiej kula jest biała.
\(\displaystyle{ C}\) - z urny pierwszej do drugiej przełożono kulę czarną.
\(\displaystyle{ P(B) = P_{1}(b)\cdot P_{2|b}(b) + P_{1}(c)\cdot P_{2|c}(b) = \frac{2}{3}\cdot \frac{3}{4} + \frac{1}{3}\cdot \frac{2}{4} = \frac{8}{12}=\frac{2}{3}.}\)
Ze wzoru pastora Thomasa Bayesa
\(\displaystyle{ P(C|B) = \frac{P(C \cap B)}{P(B)}= \frac{P_{1}(c)\cdot P_{2|c}(b)}{P(B)}=\frac{\frac{1}{3}\cdot \frac{2}{4}}{\frac{2}{3}} = \frac{1}{4}.}\)
Interpretacja otrzymanych wartości prawdopodobieństw
Realizując doświadczenie losowe, należy oczekiwać, że w około \(\displaystyle{ 66(6)\%}\) ogólnej liczbie jego wyników wylosujemy kulę białą z urny drugiej, zaś w \(\displaystyle{ 25 \%,}\) jeżeli z urny drugiej wylosowano kulę białą to w pierwszym etapie została przełożona z urny pierwszej do drugiej kula czarna.
Etap 1
- losowanie kuli z urny 1 i przełożenie do urny 2
Etap 2
- losowanie kuli z urny 2.
Etap 1
\(\displaystyle{ \Omega_{1}= \left\{ b, c\right\}, \ \ P_{1}(b ) = \frac{2}{3},\ \ P_{1}(c) = \frac{1}{3}.}\)
Etap 2
\(\displaystyle{ \Omega_{2} = \left\{ b, c \right\} , \ \ P_{2|b}(b)= \frac{3}{4}, \ \ P_{2|b}(c)= \frac{1}{4}, \ \ P_{2|c}(b) = \frac{2}{4}, \ \ P_{2|c}(c) = \frac{2}{4}.}\)
Oznaczenia zdarzeń:
\(\displaystyle{ B}\) - wylosowana z urny drugiej kula jest biała.
\(\displaystyle{ C}\) - z urny pierwszej do drugiej przełożono kulę czarną.
\(\displaystyle{ P(B) = P_{1}(b)\cdot P_{2|b}(b) + P_{1}(c)\cdot P_{2|c}(b) = \frac{2}{3}\cdot \frac{3}{4} + \frac{1}{3}\cdot \frac{2}{4} = \frac{8}{12}=\frac{2}{3}.}\)
Ze wzoru pastora Thomasa Bayesa
\(\displaystyle{ P(C|B) = \frac{P(C \cap B)}{P(B)}= \frac{P_{1}(c)\cdot P_{2|c}(b)}{P(B)}=\frac{\frac{1}{3}\cdot \frac{2}{4}}{\frac{2}{3}} = \frac{1}{4}.}\)
Interpretacja otrzymanych wartości prawdopodobieństw
Realizując doświadczenie losowe, należy oczekiwać, że w około \(\displaystyle{ 66(6)\%}\) ogólnej liczbie jego wyników wylosujemy kulę białą z urny drugiej, zaś w \(\displaystyle{ 25 \%,}\) jeżeli z urny drugiej wylosowano kulę białą to w pierwszym etapie została przełożona z urny pierwszej do drugiej kula czarna.