Zmienna losowa, prawdopodobieństwo zdarzenia. 4 zadania.

[Rain995]

1. W 500 skrzynkach z zielonymi jabłkami znalazło się omyłkowo 200 czerwonych. Oblicz przybliżoną wartość prawdopodobieństwa zdarzenia, że w wybranej losowo skrzynce są co najwyżej 2 czerwone jabłka.
2. Z przedziału \(\displaystyle{ \left[ -2;2\right]}\) wybrano losowo 2 liczby, x i y. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia: \(\displaystyle{ x ^{2}}\)
3. Zmienna losowa x ma dystrybuantę postaci F(x)= \(\displaystyle{ \begin{cases} 0&\text{dla } x<1\\1- \left( \frac{1}{x} \right)^4 &\text{dla } x \ge 1\0\end{cases}}\)
Wyznacz funkcję gęstości, oblicz P(2 < X < 3) i zilustruj wynik graficznie.
4. Wyznacz gęstość rozkładu jednostajnego na przedziale \(\displaystyle{ \left[ 2;4\right]}\) a następnie znajdź P(X>2.5). Wynik przedstaw graficznie.

Zadania na kolowium, jeżeli ktoś był by tak miły i pomógł mi je rozwiązać to bardzo dziękuję.

[miodzio1988]

Bardzo chętnie. Gdzie się gubisz?

[Rain995]

Bardzo chętnie. Gdzie się gubisz?

Zupełnie nie rozumiem tego. Chciałem kierować się przykładami w internecie, ale chyba jestem po prostu na głupi. Kolowium miało być zupełnie z czego innego, okazało się, że będzie z tego i teraz muszę się nauczyć tych zadań na sobotę, żeby nie oblać 2giego terminu.
Dało by radę wytłumaczyć co i jak?

[miodzio1988]

Musisz zacząć coś robić żebym pomógł, więc czekam

[blade]

Co do pierwszego, spróbowałbym w tym kierunku:

\(\displaystyle{ Y}\) - wylosowana skrzynia
\(\displaystyle{ X_i}\) - ilość jabłek w i-tej skrzyni

\(\displaystyle{ A}\) - zdarzenie, że w wylosowanej skrzyni są co najwyżej dwa jabłka

\(\displaystyle{ P(A)= \sum \limits_{i=1}^{500} P(X_i \le 2 | Y=i)\cdot P(Y=i)}\)

Teraz trzeba się zastanowić jakie jest prawdopodobieństwo tego, że w i-tej skrzyni znajdują się co najwyżej 2 jabłka

\(\displaystyle{ P(X_i \le 2 | Y=i) = P(X_i \in \{0,1,2\})=}\)

To z kolei potraktowałbym jako 200 losowych rzutów jabłkiem do 500 skrzyń, czyli:

\(\displaystyle{ =\left(\frac{499}{500}\right)^{200} + {200 \choose 1}\cdot\left(\frac{1}{500}\right)\cdot\left(\frac{499}{500}\right)^{199} + {200 \choose 2}\cdot\left(\frac{1}{500}\right)^2\cdot\left(\frac{499}{500}\right)^{198} \approx 0,99}\)


\(\displaystyle{ P(A)=500\cdot \frac{1}{500} \cdot 0,99 = 0,99}\)

Ale jest to tylko sugestia, przepraszam jeżeli jest to bezsensu , miodzio1988?

Trzecie - definicja gęstości,
czwarte - gęstość dla rozkładu jednostajnego.

[miodzio1988]

Nie trzeba tutaj definiować aż tylu zmiennych, zwykły rozkład dwumianowy się kłania przecież

[blade]

Nie trzeba tutaj definiować aż tylu zmiennych, zwykły rozkład dwumianowy się kłania przecież

Ok, czyli moje rozwiązanie jest błędne?

[janusz47]

Zauważmy, że średnia ilość jabłek czerwonych przypadająca na jedną skrzynkę wynosi \(\displaystyle{ \frac{200}{500}}\)

Stąd wartość parametru \(\displaystyle{ \lambda = n\cdot p = 200\cdot \frac{1}{500} =0,4.}\)

Z rozkładu Denisa Poissona:

\(\displaystyle{ P(X \leq 2) = P(X =0) + P(X=1) + P(X =2) = \frac{0,4^0}{0!}e^{-0,4}+ \frac{0,4^1}{1!}e^{-0,4} + \frac{0,4^2}{2!}e^{-0,4}\approx 0,9921.}\)

Program R

Kod: Zaznacz cały

 
> P = dpois(0,0.4)+ dpois(1,0.4)+ dpois(2,0.4)
> P
[1] 0.9920737

[Premislav]

Przepraszam bardzo, ale nie przekręcajmy imion i nazwisk. Jeśli już, to Poisson nazywał się Denis, a nie Dennis, imię Dennis nosił np. Bergkamp (kiedyś piłkarz Arsenalu, pamiętam go z gry FIFA 99) - dostał je na cześć słynnego piłkarza Manchesteru United, Denisa Law, a drugie "n" dodano, by odróżnić od popularnego w Holandii żeńskiego imienia Denise. [o ile dobrze pamiętam]-- 22 lut 2017, o 23:44 --A teraz sprytnie coś dopiszę i mój post nie będzie się liczył jako off-topic. Warcholstwo, level master.

2. sorry Gregory, ale \(\displaystyle{ x^2}\) nie jest zdarzeniem. Wiesz w ogóle, co to jest zdarzenie? Popraw proszę treść tego zadania.

3. Gęstość obliczysz, różniczkując dystrybuantę. Natomiast \(\displaystyle{ \mathbf{P}(2<X<3)}\) to całka z gęstości w granicach od 2 do 3.

4. Na to jest już gotowy wzór, nie wiem, co tu wyznaczać

[janusz47]

Kol. blade rozwiązanie nie jest bezsensu.

[miodzio1988]

Tylko niepotrzebnie skomplikowałeś sobie to

[blade]

Tylko niepotrzebnie skomplikowałeś sobie to

Z ciekawości, mógłbyś pokazać swoje rozwiązanie? U nas na zajęciach nawet proste zadania, które można było rozwiązać drzewkiem, rozwiązywaliśmy w ten sposób, rozpisując je.

[Rain995]

Przepraszam bardzo, ale nie przekręcajmy imion i nazwisk. Jeśli już, to Poisson nazywał się Denis, a nie Dennis, imię Dennis nosił np. Bergkamp (kiedyś piłkarz Arsenalu, pamiętam go z gry FIFA 99) - dostał je na cześć słynnego piłkarza Manchesteru United, Denisa Law, a drugie "n" dodano, by odróżnić od popularnego w Holandii żeńskiego imienia Denise. [o ile dobrze pamiętam]

-- 22 lut 2017, o 23:44 --

A teraz sprytnie coś dopiszę i mój post nie będzie się liczył jako off-topic. Warcholstwo, level master.

2. sorry Gregory, ale \(\displaystyle{ x^2}\) nie jest zdarzeniem. Wiesz w ogóle, co to jest zdarzenie? Popraw proszę treść tego zadania.

3. Gęstość obliczysz, różniczkując dystrybuantę. Natomiast \(\displaystyle{ \mathbf{P}(2<X<3)}\) to całka z gęstości w granicach od 2 do 3.

4. Na to jest już gotowy wzór, nie wiem, co tu wyznaczać:

2. Z przedziału\(\displaystyle{ \left[ -2;2\right]}\) wybrano losowo 2 liczby, x i y. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia:\(\displaystyle{ x ^{2} \le y}\)

Zupełnie nie rozumiem jak zrobić to 3.
Jeżeli mówisz ze na 4 jest wzór to zaraz to zrovie sam,

Zapomniał bym, dziekuje za 1 zadanie.

[blade]

Gęstość to pochodna z dystrybuanty, a prawdopodobieństwo, które musisz obliczyć, to całka oznaczona w granicach od 2 do 3 z gęstości, którą otrzymałeś.

[janusz47]

II sposób - różnica wartości dystrybuanty (skok dystrybuanty)

\(\displaystyle{ P(2< X <3) = F(3) - F(2).}\)