Uczciwa gra

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11266
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3143 razy
Pomógł: 747 razy

Uczciwa gra

Post autor: mol_ksiazkowy »

Gra z talią kart: Gracz tasuje karty i wykłada je na stół dopóki nie wyciągnie asa. Wygrywa tyle ile kart z talii wyłożył. Grę trzeba jednak opłacić. Jaka ma być ta opłata, aby gra była taka, żeby gracz "był na zero" im coraz więcej w nią gra ?
ps Jest 52 Kart w talii.
tomwanderer
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 153
Rejestracja: 28 maja 2016, o 11:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: obecnie Łódź
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 45 razy

Uczciwa gra

Post autor: tomwanderer »

To powinno pomóc:

\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{\infty} kP(T=k) = \sum_{k=1}^{\infty} \sum_{l=1}^{\infty}\chi(k \ge l)P(T=k) = \sum_{l=1}^{\infty} \sum_{k=1}^{\infty} \chi(k \ge l)P(T=k) = \sum_{l=1}^{\infty} P(T \ge l)}\)

Funkcja \(\displaystyle{ \chi\left( A\right)}\) to funkcja charakterystyczna zdarzenia \(\displaystyle{ A}\).
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8570
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

Uczciwa gra

Post autor: kerajs »

Ja tam się nie znam, ale opłata powinna chyba być równa wartości oczekiwanej z ilości \(\displaystyle{ i}\) wyciągniętych nieasów.
\(\displaystyle{ E(X)= \sum_{i=0}^{48}i \cdot \frac{V^{i}_{48}V^{1}_{4}}{V^{i+1}_{52}}= \frac{4}{52 \cdot 51 \cdot 50 \cdot 49}\sum_{i=0}^{48}i\left( 51-i\right) \left( 50-i\right)\left( 49-i\right)=}\)
\(\displaystyle{ =\frac{4}{52 \cdot 51 \cdot 50 \cdot 49}\sum_{i=0}^{48}i\left[ \left( 50-i\right)^3- \left( 50-i\right)\right] \approx 9,58721^*}\)

*o ile się nie pomyliłem w liczeniu
ODPOWIEDZ