W wyborach bierze udział dwóch kandydatów: A i B. Przeprowadzamy sondaż przedwyborczy. W ramach sondażu pytamy n osób o to na którego kandydata zamierzają głosować. Zakładamy, że każda z pytanych osób została losowo i niezależnie od pozostałych wybrana ze zbioru osób uprawnionych do głosowania (w szczególności nie wykluczamy powtórzeń). Interesuje nas oszacowanie poparcia kandydata A. Oszacuj (a. Z nierówności Czebyszewa, b. Z nierówności Chernoffa) jak duże powinno być n, żeby prawdopodobieństwo popełnienia błędu względnego większego niż 1% było mniejsze niż 5%.
Pomyślałam, że może jeśli p to poparcie dla kandydata A (w ułamku), to musimy wymyślić taką zmienną losową, żeby EX = p, i wtedy |X - EX| będzie różnicą między tym, co nam wyszło, a prawdziwą wartością.
Jeśli X byłoby średnią n zmiennych Xi o rozkładzie 0-1 z prawdopodobieństwem A, to mielibyśmy chyba:
\(\displaystyle{ EX = \frac{\sum_{1}^{n}EX_i}{n} = \frac{\sum_{1}^{n}p}{n}= \frac{ np}{n} = p}\)
Wtedy:
\(\displaystyle{ VarX = E(X^2) - (EX)^2 = \frac{\sum_{1}^{n}E(X_i ^2)}{n} - p^2 = \frac{\sum_{1}^{n}E(X_i)}{n} - p^2 = p(1-p) = pq}\)
Wówczas z Czebyszewa:
\(\displaystyle{ P(|X - EX| \ge c \sqrt{pq} ) \le \frac{1}{c^2}}\)
Ale tutaj w ogóle nie pojawia się n, wiec muszę coś gdzies robić źle.