Jaki rozkład ma suma dwóch niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie dwumianowym z tym samym \(\displaystyle{ p}\)? Jaki rozkład ma suma dwóch niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie Poissona?
Będę bardzo wdzięczna za szczegółowe objaśnienie rozwiązania, bo absolutnie nic nie rozumiem z rachunku prawdopodobieństwa.
Stabilność rozkładu dwumianowego i Poissona
-
miodzio1988
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Stabilność rozkładu dwumianowego i Poissona
1.
\(\displaystyle{ X\sim B( n, p), \ \ Y \sim B(m,p).}\)
\(\displaystyle{ P\left (\left\{ X+Y= k \right\}\right) = \sum_{i=0}^{k} P\left ( \left\{ X=i \right\} \cap \left\{Y= k- i\right\}\right ) = \sum_{i=0}^{k} P\left(\left\{X = i \right\}\right)\cdot P\left(\left\{Y =k- i \right\}\right) = \sum_{i=0}^{k} {m\choose i}p^{i}(1-p)^{m- i} {n\choose k- i}p^{k-i}(1-p)^{n-(k-i)} = \sum_{i=0}^{k}{m\choose i}{n\choose k- i}p^{k}(1-p)^{m+n - k} = {m+n \choose k} p^{k}(1-p)^{m+n-k}.}\)
Suma dwóch niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie dwumianowym (Bernoullego) i tym samym prawdopodobieństwie \(\displaystyle{ p}\) ma rozkład dwumianowy (Bernoullego) o parametrach \(\displaystyle{ m+n, \ \ p,}\) co zapisujemy:
\(\displaystyle{ X +Y \sim B(m+n, p).}\)
2.
\(\displaystyle{ X \sim Poiss(\lambda) , \ \ Y \sim Poiss(\mu).}\)
\(\displaystyle{ P\left (\left\{ X+Y= n \right\}\right) = \sum_{i=0}^{n} P\left ( \left\{ X=k \right\} \cap \left\{Y= n - k\right\}\right ) = \sum_{k=0}^{n} P\left(\left\{X = k \right\}\right)\cdot P\left(\left\{Y = n- k \right\}\right) = \sum_{k = 0}^{n} e^{-\lambda}\frac{\lambda^{k}}{k!}e^{-\mu}\frac{\mu^{n-k}}{(n- k)!} = e^{-(\lambda +\mu)} \sum_{k=0}^{n} \frac{\lambda^{k}}{k!}\frac{\mu^{n-k}}{(n-k)!} = e^{-(\lambda +\mu)}\frac{(\lambda+\mu)^{n}}{n!}.}\)
Suma dwóch niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie Poissona ma rozkład Poissona o parametrach \(\displaystyle{ \lambda + \mu,}\) co zapisujemy:
\(\displaystyle{ X +Y \sim Poiss(\lambda +\mu).}\)
\(\displaystyle{ X\sim B( n, p), \ \ Y \sim B(m,p).}\)
\(\displaystyle{ P\left (\left\{ X+Y= k \right\}\right) = \sum_{i=0}^{k} P\left ( \left\{ X=i \right\} \cap \left\{Y= k- i\right\}\right ) = \sum_{i=0}^{k} P\left(\left\{X = i \right\}\right)\cdot P\left(\left\{Y =k- i \right\}\right) = \sum_{i=0}^{k} {m\choose i}p^{i}(1-p)^{m- i} {n\choose k- i}p^{k-i}(1-p)^{n-(k-i)} = \sum_{i=0}^{k}{m\choose i}{n\choose k- i}p^{k}(1-p)^{m+n - k} = {m+n \choose k} p^{k}(1-p)^{m+n-k}.}\)
Suma dwóch niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie dwumianowym (Bernoullego) i tym samym prawdopodobieństwie \(\displaystyle{ p}\) ma rozkład dwumianowy (Bernoullego) o parametrach \(\displaystyle{ m+n, \ \ p,}\) co zapisujemy:
\(\displaystyle{ X +Y \sim B(m+n, p).}\)
2.
\(\displaystyle{ X \sim Poiss(\lambda) , \ \ Y \sim Poiss(\mu).}\)
\(\displaystyle{ P\left (\left\{ X+Y= n \right\}\right) = \sum_{i=0}^{n} P\left ( \left\{ X=k \right\} \cap \left\{Y= n - k\right\}\right ) = \sum_{k=0}^{n} P\left(\left\{X = k \right\}\right)\cdot P\left(\left\{Y = n- k \right\}\right) = \sum_{k = 0}^{n} e^{-\lambda}\frac{\lambda^{k}}{k!}e^{-\mu}\frac{\mu^{n-k}}{(n- k)!} = e^{-(\lambda +\mu)} \sum_{k=0}^{n} \frac{\lambda^{k}}{k!}\frac{\mu^{n-k}}{(n-k)!} = e^{-(\lambda +\mu)}\frac{(\lambda+\mu)^{n}}{n!}.}\)
Suma dwóch niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie Poissona ma rozkład Poissona o parametrach \(\displaystyle{ \lambda + \mu,}\) co zapisujemy:
\(\displaystyle{ X +Y \sim Poiss(\lambda +\mu).}\)