Dowód momenty
Dowód momenty
Dzień dobry, potrzebuję dowodu następującego twierdzenia: "Jeśli istnieje moment rzędu r to istnieją momenty niższego rzędu". Nigdzie nie mogę tego znaleźć. Proszę o pomoc.
Dowód momenty
Nie mam pojęcia jak się coś takiego udowadnia, mógłbyś przytoczyć mi cały dowód? Bardzo mi to potrzebne.
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Dowód momenty
Można również zastosować nierówność Jensena.
A tę nierówność, którą napisał leg14, można udowodnić za pomocą zdrowego rozsądku (rozważ np. \(\displaystyle{ x \in (0,1)}\) i \(\displaystyle{ x\ge 1}\) osobno, w pierwszym przypadku szacuj \(\displaystyle{ x^p}\) przez \(\displaystyle{ 1}\), a w drugim przez \(\displaystyle{ x^q}\)), tylko jeszcze \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ q}\) powinny być w tym lemacie dodatnie (inaczej kontrprzykład np. \(\displaystyle{ x=\frac 1 2, p=-3, q=-1}\)) - ale taka właśnie sytuacja nas interesuje w tym zadaniu (a nawet \(\displaystyle{ p,q \in \NN}\)).
Zacznij sam coś robić.
A tę nierówność, którą napisał leg14, można udowodnić za pomocą zdrowego rozsądku (rozważ np. \(\displaystyle{ x \in (0,1)}\) i \(\displaystyle{ x\ge 1}\) osobno, w pierwszym przypadku szacuj \(\displaystyle{ x^p}\) przez \(\displaystyle{ 1}\), a w drugim przez \(\displaystyle{ x^q}\)), tylko jeszcze \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ q}\) powinny być w tym lemacie dodatnie (inaczej kontrprzykład np. \(\displaystyle{ x=\frac 1 2, p=-3, q=-1}\)) - ale taka właśnie sytuacja nas interesuje w tym zadaniu (a nawet \(\displaystyle{ p,q \in \NN}\)).
Zacznij sam coś robić.
Dowód momenty
To wszystko co należy napisać? Oj, przyznam Ci się szczerze, że 4 dzień już nad tym wszystkim siedzę i już wymiękam. To ostatnie zagadnienie które mi zostało i po prostu tego nie wiem.
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Dowód momenty
Nie, to nie jest wszystko. Trzeba jeszcze z tego skorzystać. No nic, trudno...
Istnienie momentu rzędu \(\displaystyle{ k \in \NN}\) zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\) oznacza, że
\(\displaystyle{ \mathbf{E}|X|^k< \infty}\).
Rozwiązanie nr 1:
niech \(\displaystyle{ p,q \in \NN, p<q}\) i \(\displaystyle{ \mathbf{E}|X|^q <\infty}\). Z nierówności Jensena dla wypukłej (w dodatnich) \(\displaystyle{ f(t)=t ^{ \frac{q}{p} }}\) mamy:
\(\displaystyle{ \mathbf{E}|X|^{q}=\mathbf{E}\left(|X|^p\right)^{ \frac{q}{p} } \ge \left(\mathbf{E}|X|^{p}\right)^{\frac q p}}\)
Zatem \(\displaystyle{ \left(\mathbf{E}|X|^{p}\right)^{\frac q p}<\infty}\), więc i \(\displaystyle{ \mathbf{E}|X|^{p}<\infty}\)
Rozwiązanie nr 2 (prostsze - takie, jak sugerował leg14):
udowadniamy, że dla \(\displaystyle{ p,q \in \RR^+, p<q}\) oraz \(\displaystyle{ x \ge 0}\) jest
\(\displaystyle{ x^p \le x^q+1}\) (jak pisałem: rozważ \(\displaystyle{ x in [0,1)}\) i \(\displaystyle{ x \ge 1}\)),
a więc
\(\displaystyle{ \mathbf{E}|X|^p \le \mathbf{E}(|X|^q+1)}\) z monotoniczności całki, zaś
z założenia \(\displaystyle{ \mathbf{E}|X|^q< \infty}\), zatem
\(\displaystyle{ \mathbf{E}(|X|^q+1)=\mathbf{E}|X|^q+1<\infty}\), a stąd też
\(\displaystyle{ \mathbf{E}|X|^p <\infty}\), c.n.d.
W czasie sesji nie ma sensu siedzenie tyle nad jednym zadaniem, jak nie możesz czegoś rozwiązać, to poszukaj rozwiązania w książkach, tu, na math.stackexchange albo gdzieś tam indziej. A zresztą możliwe, że hiperbolizujesz z tymi czterema dniami...
Istnienie momentu rzędu \(\displaystyle{ k \in \NN}\) zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\) oznacza, że
\(\displaystyle{ \mathbf{E}|X|^k< \infty}\).
Rozwiązanie nr 1:
niech \(\displaystyle{ p,q \in \NN, p<q}\) i \(\displaystyle{ \mathbf{E}|X|^q <\infty}\). Z nierówności Jensena dla wypukłej (w dodatnich) \(\displaystyle{ f(t)=t ^{ \frac{q}{p} }}\) mamy:
\(\displaystyle{ \mathbf{E}|X|^{q}=\mathbf{E}\left(|X|^p\right)^{ \frac{q}{p} } \ge \left(\mathbf{E}|X|^{p}\right)^{\frac q p}}\)
Zatem \(\displaystyle{ \left(\mathbf{E}|X|^{p}\right)^{\frac q p}<\infty}\), więc i \(\displaystyle{ \mathbf{E}|X|^{p}<\infty}\)
Rozwiązanie nr 2 (prostsze - takie, jak sugerował leg14):
udowadniamy, że dla \(\displaystyle{ p,q \in \RR^+, p<q}\) oraz \(\displaystyle{ x \ge 0}\) jest
\(\displaystyle{ x^p \le x^q+1}\) (jak pisałem: rozważ \(\displaystyle{ x in [0,1)}\) i \(\displaystyle{ x \ge 1}\)),
a więc
\(\displaystyle{ \mathbf{E}|X|^p \le \mathbf{E}(|X|^q+1)}\) z monotoniczności całki, zaś
z założenia \(\displaystyle{ \mathbf{E}|X|^q< \infty}\), zatem
\(\displaystyle{ \mathbf{E}(|X|^q+1)=\mathbf{E}|X|^q+1<\infty}\), a stąd też
\(\displaystyle{ \mathbf{E}|X|^p <\infty}\), c.n.d.
W czasie sesji nie ma sensu siedzenie tyle nad jednym zadaniem, jak nie możesz czegoś rozwiązać, to poszukaj rozwiązania w książkach, tu, na math.stackexchange albo gdzieś tam indziej. A zresztą możliwe, że hiperbolizujesz z tymi czterema dniami...
Dowód momenty
Dobrze dziękuję bardzo, przepiszę to. Zostawiłem sobie na koniec to do opracowania, ale przez ten czas miałem do zrobienia około 70 zagadnień. Dziękuję jeszcze raz, wszystkiego dobrego!