Zmienne losowe są niezależne, przy czym \(\displaystyle{ \PP\left( X=n\right) =\PP\left( Y=n\right) =p, \ n=1,\dots,N}\), gdzie \(\displaystyle{ N}\) jest pewną liczbą naturalną. Znajdź stałą \(\displaystyle{ p}\) oraz \(\displaystyle{ \EE\left( X|X+Y=n\right)}\) dla \(\displaystyle{ n\in\NN}\).
No to co do pierwszego, to może tak:
\(\displaystyle{ \sum^{N}_{n=1} \PP\left( X=n\right) =Np=1 \rightarrow p=\frac{1}{N}}\)
Natomiast jak ruszyć to drugie?
Znaleźć wartość oczekiwaną
-
squared
- Użytkownik
- Posty: 1017
- Rejestracja: 21 mar 2009, o 11:11
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 167 razy
- Pomógł: 152 razy
Znaleźć wartość oczekiwaną
Najpierw musisz wyznaczyć sobie zmienną losową: \(\displaystyle{ Z=X+Y}\).
Jak ją masz to:
\(\displaystyle{ \mathbb{E}(X \ | Z=n) = \sum\limits_{i=1}^{\infty} x_i\mathbb{P}(X=x_i \ | \ Z = n)= \frac{\sum\limits_{i=1}^{\infty}x_i\mathbb{P}(X=x_i, Z=n)}{\mathbb{P}(Z=n)}}\).
To wprost z definicji rozpisane. U Nas oczywiście jest skończona ilość \(\displaystyle{ x_i}\).
\(\displaystyle{ \mathbb{E}(X \ | Z=n) = \frac{\sum\limits_{j=1}^{N}j\mathbb{P}(X=j, Z=n)}{\mathbb{P}(Z=n)}}\).
Natomiast zasadnicze pytanie, czy umiesz znaleźć rozkład zmiennej losowej \(\displaystyle{ Z}\) oraz zmiennej losowej łącznej \(\displaystyle{ (X,Z)}\)?
Jak ją masz to:
\(\displaystyle{ \mathbb{E}(X \ | Z=n) = \sum\limits_{i=1}^{\infty} x_i\mathbb{P}(X=x_i \ | \ Z = n)= \frac{\sum\limits_{i=1}^{\infty}x_i\mathbb{P}(X=x_i, Z=n)}{\mathbb{P}(Z=n)}}\).
To wprost z definicji rozpisane. U Nas oczywiście jest skończona ilość \(\displaystyle{ x_i}\).
\(\displaystyle{ \mathbb{E}(X \ | Z=n) = \frac{\sum\limits_{j=1}^{N}j\mathbb{P}(X=j, Z=n)}{\mathbb{P}(Z=n)}}\).
Natomiast zasadnicze pytanie, czy umiesz znaleźć rozkład zmiennej losowej \(\displaystyle{ Z}\) oraz zmiennej losowej łącznej \(\displaystyle{ (X,Z)}\)?