SPWL Bernoulliego

[Corinek]

Korzystając bezpośrednio z dowodu na Nierówność Czebyszewa udowodnij Słabe Prawo Wielkich Liczb Beronulliego.

Dowód nierówności Czebyszewa potrafię przeprowadzić bez problemu. Nie wiem tylko jak się ma piernik do wiatraka?

[Premislav]

Nie wiem tylko jak się ma piernik do wiatraka?

Mają tyle samo spółgłosek.

Niech \(\displaystyle{ S_n}\) - liczba sukcesów w \(\displaystyle{ n}\) próbach Bernoulliego z prawdopodobieństwem sukcesu \(\displaystyle{ p}\) w pojedynczej próbie. Wówczas dla dowolnego \(\displaystyle{ \epsilon>0}\) mamy
\(\displaystyle{ \mathbf{P}\left( \left| \frac{S_n}{n}-p\right| \ge \epsilon \right)\le \frac{\mathrm{Var}\left( \frac{S_n}{n} \right) }{\epsilon^2}}\)
na mocy nierówności Czebyszewa-Bienayme.

Ponadto \(\displaystyle{ \mathrm{Var}\left( \frac{S_n}{n}\right)=\frac 1 {n^2} \mathrm{Var} S_n= \frac{np(1-p)}{n^2}= \frac{p(1-p)}{n}}\),
zatem \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{\mathrm{Var}\left( \frac{S_n}{n} \right) }{\epsilon^2}=0}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ \epsilon>0}\), więc tym bardziej
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }\mathbf{P}\left( \left| \frac{S_n}{n}-p\right| \ge \epsilon \right)=0}\)

-- 7 lut 2017, o 23:23 --

A, chodziło o skorzystanie z dowodu... No sorry, nie doczytałem, nie wiem, jaki Ty masz/miałaś dowód.-- 7 lut 2017, o 23:45 --No to dowód Czebyszewa szedłby mniej więcej tak:
niech \(\displaystyle{ X}\) będzie nieujemną zmienną losową i \(\displaystyle{ \epsilon>0}\). Wówczas
\(\displaystyle{ \epsilon\mathbf{P}(X\ge \epsilon)=\epsilon \int_{\left\{ X \ge \epsilon \right\} }^{}\,\dd \mathbf{P}=\int_{\left\{ X \ge \epsilon \right\} }^{}\epsilon \,\dd \mathbf{P} \le \int_{\left\{ X \ge \epsilon\right\} }^{}X \,\dd \mathbf{P} \le \int_{\Omega}^{}X \,\dd \matbf{P}=\mathbf{E}X}\)
Dzielimy teraz stronami przez \(\displaystyle{ \epsilon}\) i finito.

To teraz zauważmy/ewentualnie obliczmy, że jeśli \(\displaystyle{ S_n}\) jest liczbą sukcesów w \(\displaystyle{ n}\) próbach Bernoulliego z prawdopodobieństwem sukcesu \(\displaystyle{ p}\) w pojedynczej próbie, to \(\displaystyle{ \mathbf{E}S_n=np}\), zatem \(\displaystyle{ \mathbf{E}\left( \frac{S_n}{n}\right)=p}\)
i potem wystarczy bezpośrednio z nierówności Czebyszewa wyprowadzić nierówność Czebyszewa-Bienayme i ją użyć, a to nietrudne,
gdyż \(\displaystyle{ \mathbf{P}(|X-\mathbf{E}X|\ge \epsilon)=\mathbf{P}\left( D^2 X \ge \epsilon^2\right)}\) dla dowolnego dodatniego \(\displaystyle{ \epsilon.}\)