Mocne Prawo Wielkich Liczb dla funkcji charakterystycznej

Corinek · Post autor: **Corinek** » 7 lut 2017, o 23:02

Udowodnij że ciąg zmiennych losowych o gęstościach\(\displaystyle{ f(x) = 1 _{[n- \frac{1}{2},n+ \frac{1}{2}]}\) spełnia Mocne Prawo Wielkich Liczb.

Zaczęłam to robić z twierdzenia Kołmogorowa:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{D ^{2}(X _{n})}{n ^{2}} < + \infty}\)
\(\displaystyle{ D ^{2}(X) = - \frac{2}{3}n ^{2} + \frac{1}{36 }}\) (niżej poprawione na \(\displaystyle{ \frac{1}{12}}\))

Po wstawieniu do wzoru

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } - \frac{2}{3} + \frac{1}{36n ^{2}}}\)
Szereg jest (chyba) zbieżny, czyli ma skończoną granicę czyli MPWL jest spełnione.

To tak ma być?

koralik · Post autor: **koralik** » 7 lut 2017, o 23:27

To się sumuje do minus nieskończoności

Premislav · Post autor: **Premislav** » 7 lut 2017, o 23:30

Właśnie. Ten szereg nie jest zbieżny, nie spełnia przecież nawet warunku koniecznego zbieżności.

Zacznijmy od tego, że niepoprawnie policzyłaś \(\displaystyle{ D^2 X_n}\). Pokaż rachunki, to skorygujemy.

Corinek · Post autor: **Corinek** » 7 lut 2017, o 23:51

\(\displaystyle{ D ^{2}(X) = {E _{X}}^{2} - (E_{X})^{2}}\)

\(\displaystyle{ E_{X}= \int_{R}^{}xf _{X}(x) dx = \int_{R}^{}x \cdot 1 _{[n- \frac{1}{2} , n+ \frac{1}{2}] } dx= \int_{n- \frac{1}{2}}^{n+ \frac{1}{2}} x dx = \frac{x ^{2} }{2}\left| ^{n+ \frac{1}{2}} _{n- \frac{1}{2}}= \frac{(n+ \frac{1}{2})^{2} - (n- \frac{1}{2})^{2} }{2} = n}\)

\(\displaystyle{ E_{X^{2}}= \int_{R}^{}x^{2}f _{X}(x) dx = \int_{R}^{}x^{2} \cdot 1 _{[n- \frac{1}{2} , n+ \frac{1}{2}] } dx= \int_{n- \frac{1}{2}}^{n+ \frac{1}{2}} x^{2} dx = \frac{x ^{3} }{3}\left| ^{n+ \frac{1}{2}} _{n- \frac{1}{2}}= \frac{(n+ \frac{1}{2})^{3} - ( n- \frac{1}{2})^{3} }{3} = \frac{3n ^{2} + \frac{2}{8}}{3}}\)

\(\displaystyle{ D ^{2}(X) = \frac{3n ^{2} + \frac{2}{8}}{3} - n^{2} = \frac{1}{12}}\)

Premislav · Post autor: **Premislav** » 7 lut 2017, o 23:55

No to super, obliczenia są OK, tylko że \(\displaystyle{ D^2 X_n \neq \mathbf{E}X_n^2}\)...
Mamy bowiem \(\displaystyle{ D^2 X=\mathbf{E}X^2-(\mathbf{E}X)^2}\)

Corinek · Post autor: **Corinek** » 7 lut 2017, o 23:58

To nie mam pojęcia co teraz zrobić. Nie znam żadnego wzoru, który pomoże.

Premislav · Post autor: **Premislav** » 8 lut 2017, o 00:08

Chyba żartujesz. Policzyłaś \(\displaystyle{ \mathbf{E}X_n^2}\), policzyłaś \(\displaystyle{ \mathbf{E}X_n}\) (zresztą dobrze) i chcesz powiedzieć, że nie umiesz z tego wyliczyć \(\displaystyle{ \mathbf{E}X_n^2-(\mathbf{E}X_n)^2}\)?

To zadanie pójdzie właśnie z twierdzenia Kołmogorowa, jeśli poprawnie to wyliczysz.

Corinek · Post autor: **Corinek** » 8 lut 2017, o 00:15

Czyli \(\displaystyle{ E _{X}}\) i \(\displaystyle{ E _{X_{n}}}\) to w tym wypadku to samo? No i tam w Kołmogorowie jest \(\displaystyle{ D^2 X_n}\) a nie \(\displaystyle{ D^2 X}\)

to będzie
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{ \infty } \frac{D^2X_n}{n^2}=\sum_{k=1}^{ \infty } \frac{1}{12 n^2}}\) który jest (?) zbieżny?

Premislav · Post autor: **Premislav** » 8 lut 2017, o 00:19

Zgadza się, jest zbieżny. Powinnaś to pewnie wiedzieć z poprzednich semestrów, że szereg
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{n^2}}\) jest zbieżny, a jeśli nie wiesz, to można to uzasadnić za pomocą nierówności \(\displaystyle{ \frac{1}{n^2} \le \frac{1}{n(n-1)}= \frac{1}{n-1}-\frac 1 n \text{ dla } n=2,3,\dots}\) i kryterium porównawczego. Ale generalnie można uznać za znany fakt, że szeregi
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{n^a}}\) są rozbieżne gdy \(\displaystyle{ a \le 1}\) oraz zbieżne gdy \(\displaystyle{ a>1.}\)

Corinek · Post autor: **Corinek** » 8 lut 2017, o 00:20

Super Dziękuję! Czy dałbyś też radę sprawdzić mi to https://www.matematyka.pl/418170.htm ?