Funkcja charakterystyczna cosinus

[Corinek]

Funkcja charakterystyczna zmiennej losowej jest równa \(\displaystyle{ cos ^{3}t}\) .
Wyznacz bazę rozkładu, wartość oczekiwaną i wariancję.

Jedyne, co wiem to \(\displaystyle{ cos ^{3}t = \sum_{k=1}^{\infty}p _{k} e ^{itx _{k} }}\) dla bazy \(\displaystyle{ \left\{ x _{k}, p _{k} \right\}}\)

Jak to dalej ugryźć?

[Premislav]

\(\displaystyle{ \cos^3 t=\left( \frac{e^{it}+e^{-it}}{2} \right)^3= \frac{e^{3it}+3e^{it}+3e^{-it}+e^{-3it}}{8}}\)

Weź taką zmienną losową \(\displaystyle{ X}\), że \(\displaystyle{ \mathbf{P}(X=1)=\mathbf{P}(X=-1)=\frac 3 8, \mathbf{P}(X=-3)=\mathbf{P}(X=3)=\frac 1 8}\).
Wartość oczekiwaną i wariancję już sobie policzysz, jeśli znasz ich definicję.

[Corinek]

Czyli

\(\displaystyle{ cos ^{3}t = \frac{e ^{ it3}}{8} + \frac{3e ^{ it1}}{8} + \frac{3e ^{ it(-1)}}{8} + \frac{e ^{ it(-3)}}{8}}\)
I baza: \(\displaystyle{ \left\{ (3, \frac{1}{8}), (-3, \frac{1}{8}), (1, \frac{3}{8}), (-1, \frac{3}{8}) \right\}}\)

\(\displaystyle{ E _{X}= 3 \cdot \frac{1}{8} + (-3) \cdot \frac{1}{8} + 1 \cdot \frac{1}{8} + (-1) \cdot \frac{1}{8} = 0 ???}\)

\(\displaystyle{ E _{X ^{2} }= 9 \cdot \frac{1}{8} + 9 \cdot \frac{1}{8} + 1 \cdot \frac{1}{8} + 1 \cdot \frac{1}{8} = \frac{20}{8}???}\)

\(\displaystyle{ D ^{2} _{X}}= \frac{20}{8} - 0 = \frac{20}{8}???}\)

[Premislav]

Wszystko się zgadza.