część rzeczywista i urojona funkcji charakterystycznej

[gienia]

\(\displaystyle{ \varphi}\) jest funkcją charakterystyczną.

Jak sprawdzić czy \(\displaystyle{ Re\varphi}\) i \(\displaystyle{ Im\varphi}\) też?

[leg14]

Im nie jest - istnieja funkcje charakterystyczne, ktore przyjmuja wartosci tylko rzecyzwiste. Re jest -
jesli \(\displaystyle{ \varphi_{X}}\) jest pewna funckja char zmiennej X, to jej sprzezenie jest funkcja charakjterystyczna zmiennej \(\displaystyle{ -X}\) - korzystasz teraz z tego, ze kombinacja wypukla funkcji charakterystycznych jest funkcja wypukla (\(\displaystyle{ Rez = \frac{z + z^{-}}{2}}\) gdzie \(\displaystyle{ z^{-}}\) to sprzezenie)

[gienia]

A dlaczego to musi być funkcja charakterystyczna? \(\displaystyle{ \frac{z + z^{-}}{2}}\)

[leg14]

Mamy dwie zmienne losowe \(\displaystyle{ X}\) i niezalezna od niej \(\displaystyle{ Y}\) o tym samym rozkladzie.
Zgodzisz sie, ze \(\displaystyle{ \varphi_{-Y} =}\) sprzezona funkcja charakterystyczna zmiennej \(\displaystyle{ X}\)? Teraz pozostaje pytanei dlaczego srednia z takich funkcji charakterystycznych bedzie funkcja charakterystyczna, udowodnimy to ogolniej :
niech \(\displaystyle{ \varphi_1,\varphi_2}\) beda dwiema funkcjami charakterystycznymi rozkladow odpowiednio \(\displaystyle{ m_1}\) i \(\displaystyle{ m_2}\). Wowczas ich srednia arytmetyczna jest f. charakterystyczna pewnego rozkladu.
Dow:
Ten rozklad jestesmy w stanie podac explixite:
\(\displaystyle{ v(A) = \frac{1}{2}m_1(A) + \frac{1}{2}m_2(A)}\) dla dowolnego zbioru borelowskeigo A.
Wowczas \(\displaystyle{ \int_{}^{} e^{itx}dv = \int_{}^{} e^{itx}d(\frac{1}{2}m_1+ \frac{1}{2}m_2) = \frac{1}{2} \int_{}^{} e^{itx}dm_1 + \frac{1}{2} \int_{}^{} e^{itx}dm_2}\)