Niezależne zmienne \(\displaystyle{ X_n}\) mają taki sam rozkład
\(\displaystyle{ P(X=1)=P(X=-1)=0,5}\)
Wykorzystując f. charakterystycze wykazać, że
\(\displaystyle{ n^{-0,5}\left( X_1 +\cdots + X_n\right)\xrightarrow{ \ d \ } \mathcal{N} (0,1)}\)
Rozkład graniczny
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Rozkład graniczny
Wskazówka: funkcja charakterystyczna sumy niezależnych zmiennych losowych to iloczyn ich funkcji charakterystycznych.
Zatem wystarczy, że uzasadnisz tę równość:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{\cos^n t}{\sqrt{n}} =e^{- \frac{t^2}{2} }}\)
(dla ustalonego \(\displaystyle{ t}\)).
Zatem wystarczy, że uzasadnisz tę równość:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{\cos^n t}{\sqrt{n}} =e^{- \frac{t^2}{2} }}\)
(dla ustalonego \(\displaystyle{ t}\)).
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Rozkład graniczny
Przede wszystkim chciałem Cię przeprosić, bo palnąłem taką bzdurę, że powinienem rzucić się do Odry ze swoim zakutym łbem. Przecież to oczywiste, że granica, którą napisałem, wynosi zero dla każdego \(\displaystyle{ t}\) rzeczywistego.
Chodzi o to, że funkcją charakterystyczną sumy \(\displaystyle{ X_1+\dots+X_n}\) jest wprawdzie \(\displaystyle{ \cos^n t}\), jednakże funkcją charakterystyczną
\(\displaystyle{ n^{-\frac 1 2}\left( X_1+\dots+X_n\right)}\) nie jest to, co napisałem, lecz
\(\displaystyle{ \cos^n\left( \frac{t}{\sqrt{n}} \right)}\): poszukaj ogólnego faktu o funkcji charakterystycznej \(\displaystyle{ aX+b}\), gdy znasz funkcję charakterystyczną \(\displaystyle{ X}\) albo sam ją sobie wyprowadź z definicji całki.
To teraz tak:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }\cos^n\left( \frac{t}{\sqrt{n}} \right) = \lim_{n \to \infty }\left( \frac{e^{i \frac{t}{\sqrt{n}} } +e^{-i \frac{t}{\sqrt{n}} }}{2} \right)^n}\)
no i teraz należy użyć faktu, iż
\(\displaystyle{ e^z=1+z+ \frac{z^2}{2}+o(z^2)}\), który wynika ze wzoru Taylora. Powodzenia.
Chodzi o to, że funkcją charakterystyczną sumy \(\displaystyle{ X_1+\dots+X_n}\) jest wprawdzie \(\displaystyle{ \cos^n t}\), jednakże funkcją charakterystyczną
\(\displaystyle{ n^{-\frac 1 2}\left( X_1+\dots+X_n\right)}\) nie jest to, co napisałem, lecz
\(\displaystyle{ \cos^n\left( \frac{t}{\sqrt{n}} \right)}\): poszukaj ogólnego faktu o funkcji charakterystycznej \(\displaystyle{ aX+b}\), gdy znasz funkcję charakterystyczną \(\displaystyle{ X}\) albo sam ją sobie wyprowadź z definicji całki.
To teraz tak:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }\cos^n\left( \frac{t}{\sqrt{n}} \right) = \lim_{n \to \infty }\left( \frac{e^{i \frac{t}{\sqrt{n}} } +e^{-i \frac{t}{\sqrt{n}} }}{2} \right)^n}\)
no i teraz należy użyć faktu, iż
\(\displaystyle{ e^z=1+z+ \frac{z^2}{2}+o(z^2)}\), który wynika ze wzoru Taylora. Powodzenia.
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Rozkład graniczny
Wydawało mi się, że napisałem, co z tym zrobić, ale może zbyt enigmatycznie to napisałem. Rozwijając:
\(\displaystyle{ \frac{e^{i \frac{t}{\sqrt{n}} } +e^{-i \frac{t}{\sqrt{n}} }}{2}=\frac 1 2\left( 2- \frac{t^2}{n}+2 \sum_{k=2}^{ \infty }\left( \frac{it}{\sqrt{n}} \right)^{2k} \right)=1- \frac{t^2}{2n} +\sum_{k=2}^{ \infty }\left( \frac{it}{\sqrt{n}} \right)^{2k}}\)
Teraz przyda się następujący lemat:
niech \(\displaystyle{ (z_n)}\) będzie ciągiem liczb zespolonych takim, że
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }n z_n=g, \quad \lim_{n \to \infty }z_n=0}\)
Wówczas mamy:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }\left( 1+z_n\right)^n=e^g}\)
Wskazówka do dowodu lematu: \(\displaystyle{ \left( 1+z_n\right) ^n=\left( \left( 1+z_n\right)^{ \frac{1}{z_n} } \right)^{ n\cdot z_n }}\)
Korzystając z lematu:
oczywiście dla \(\displaystyle{ z_n=- \frac{t^2}{2n} +\sum_{k=2}^{ \infty }\left( \frac{it}{\sqrt{n}} \right)^{2k}}\) mamy \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }z_n=0}\) oraz \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }nz_n=- \frac{t^2}{2}}\), czyli
z lematu \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } (1+z_n)^n=e^{- \frac{t^2}{2}}}\),
c.n.d.
\(\displaystyle{ \frac{e^{i \frac{t}{\sqrt{n}} } +e^{-i \frac{t}{\sqrt{n}} }}{2}=\frac 1 2\left( 2- \frac{t^2}{n}+2 \sum_{k=2}^{ \infty }\left( \frac{it}{\sqrt{n}} \right)^{2k} \right)=1- \frac{t^2}{2n} +\sum_{k=2}^{ \infty }\left( \frac{it}{\sqrt{n}} \right)^{2k}}\)
Teraz przyda się następujący lemat:
niech \(\displaystyle{ (z_n)}\) będzie ciągiem liczb zespolonych takim, że
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }n z_n=g, \quad \lim_{n \to \infty }z_n=0}\)
Wówczas mamy:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }\left( 1+z_n\right)^n=e^g}\)
Wskazówka do dowodu lematu: \(\displaystyle{ \left( 1+z_n\right) ^n=\left( \left( 1+z_n\right)^{ \frac{1}{z_n} } \right)^{ n\cdot z_n }}\)
Korzystając z lematu:
oczywiście dla \(\displaystyle{ z_n=- \frac{t^2}{2n} +\sum_{k=2}^{ \infty }\left( \frac{it}{\sqrt{n}} \right)^{2k}}\) mamy \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }z_n=0}\) oraz \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }nz_n=- \frac{t^2}{2}}\), czyli
z lematu \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } (1+z_n)^n=e^{- \frac{t^2}{2}}}\),
c.n.d.