moment stopu

gienia · Post autor: **gienia** » 5 lut 2017, o 14:42

Próbuję zrozumieć jak działa moment stopu, na wikipedii znalazłam takie przykłady:

"Strategia gracza "gram do podwojenia kapitału początkowego (i pożyczam jeśli trzeba)" nie jest momentem zatrzymania, jako że istnieje dodatnie prawdopodobieństwo tego, że nigdy nie zrealizujemy zamierzonego celu.

Strategia gracza "gram do podwojenia kapitału lub do chwili bankructwa" jest momentem zatrzymania ponieważ zatrzymujemy się z prawdopodobieństwem jeden w skończonym czasie."

Nie rozumiem, dlaczego drugi to moment stopu, a pierwszy nie. Znaczy widzę, że prawdopodobieństwo, że drugie zdarzenie się w końcu zrealizuje jest większe niż pierwsze, ale nadal może się nie zrealizować, jeśli gracz będzie na zmianę wygrywał i przegrywał. Jak to pokazać, że rzeczywiście tak jest?

leg14 · Post autor: **leg14** » 5 lut 2017, o 22:11

Pytasz o momenty stopu w martyngalach z czasem dyskretnym ?

gienia · Post autor: **gienia** » 6 lut 2017, o 18:42

Tak. A konkretnie, o te przykłady pytam.

leg14 · Post autor: **leg14** » 6 lut 2017, o 18:45

gienia, Na przyklad wez taka gre \(\displaystyle{ X_n}\) to zmienna losowa mowiaca o tym czy gracz A wygral czy przegral tzn \(\displaystyle{ P(X_n=1)=P(X_n=-1) = 0.5}\) wowczas \(\displaystyle{ X_0+X_1+...+ X_n}\) bedzie kapitalem gracza po n turach. Powiedzmy, ze startuje z kapitalem a tzn \(\displaystyle{ X_0 = a}\). Okreslamy moment zatrzymania \(\displaystyle{ \partial = inf\left\{ n: S_n = 2a \vee S_n = 0\right\}}\). Zauwaz, ze jesli 2a razy pod rzad (w dowolonym momencie gry) gracz A wygra runde, to gra sie konczy. No to robisz teraz takei zdarzenia \(\displaystyle{ A_{2ak} =}\) prawdopodobienstwo, ze \(\displaystyle{ X_{2ak}=1, X_{2ak +1} =1,..,X_{2a(k+1)-1} =1}\)
Rodzina zdarzen \(\displaystyle{ A_{2ak}, k\in \NN}\) jest niezalezna i kazde zdarzenie ma to samo dodatnei prawdopodobienstwo, zatem stosujac lemat Borela - Cantelliego dostajesz, ze zajdzie nieskonczenie wiele zdarzen \(\displaystyle{ A_{2ak}}\) z prawdopodobienstwem 1.

gienia · Post autor: **gienia** » 6 lut 2017, o 18:48

Ok, ma to sens, dziękuję-- 7 lut 2017, o 02:01 --Nie, jednak nie rozumiem xD
Z tego co napisałeś nie wynika, że gra do podwojenia kapitału jest momentem stopu? Bankructwa tam nie wliczasz, a i tak wyszło, że zajdzie nieskończenie takich zdarzeń z pstwem 1.

leg14 · Post autor: **leg14** » 10 lut 2017, o 11:13

Nie, jednak nie rozumiem xD
Z tego co napisałeś nie wynika, że gra do podwojenia kapitału jest momentem stopu? Bankructwa tam nie wliczasz, a i tak wyszło, że zajdzie nieskończenie takich zdarzeń z pstwem 1.

Zalezy jak interpretujesz pozyczanie.

Strategia gracza "gram do podwojenia kapitału początkowego (i pożyczam jeśli trzeba)" nie jest momentem zatrzymania, jako że istnieje dodatnie prawdopodobieństwo tego, że nigdy nie zrealizujemy zamierzonego celu.

Tutaj tak naprawde chodzi o to, ze nie zarzymujemy gry,gdy gracz A traci caly kapital, bo go pozycza, ale cel podwojenia kapitalu gracza A nadal wlicza to co on stracil. Czyli moze byc na minusie ile chce i chce wygrac tyle pieniedzy, by splacic dlugi i jeszcze zeby zostalo mu 2a kapitalu dla siebie. W przykladzie, ktory podalem wyglada to tak, ze momentem stopu byloby \(\displaystyle{ \partial = inf\left\{ n: S_n = 2a \right\}}\) (czyli ta suma moze sobie na minusie byc ile chce). W takie jsytuacji juz stwierdzenie, ze nieskonczenie wiele razy wygra 2a zl z rzedu noie wystarczy (bo moze przed kazda taka szczesliwa seria byl milion na minusie).