Wyznaczyć funkcję charakterystyczną

[primax]

Witam, muszę wyznaczyć funkcję charakterystyczną zmiennej \(\displaystyle{ Z=X-Y}\), gdzie \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) są niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowej gęstości:
\(\displaystyle{ f(x)= \begin{cases}e ^{-x}, x>0 \\ 0, x \le 0 \end{cases}}\)
Zatem:
\(\displaystyle{ \phi _{X}(t)= \int_{0}^{ +\infty }e ^{itx}*e ^{-x}dx= \int_{0}^{+\infty}e ^{x(it-1)}dx= \frac{1}{it-1}*e ^{x(it-1)}}\)
Teraz podstawiając wyjdzie mi nieskończoność, co powinienem zrobić?

[leg14]

Nie wyjdzie. Jaki jest modul \(\displaystyle{ e^{xit}}\)?

[primax]

\(\displaystyle{ cos(tx)+isin(tx)}\), ale nie rozumiem do czego mi się tutaj to przyda

[leg14]

Modul wynosi jeden, wiec granica nie wyjdzie nieskonczonosc.

[primax]

Skąd ja tu mam wziąć moduł?

[leg14]

A jak liczy sie granice liczb zespolonych?

[primax]

W ten sposób?
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to \infty } \left| e ^{x(it-1)}\right|=1}\)

[leg14]

\(\displaystyle{ \left| e ^{x(it-1)}\right|=\left| e ^{-x}\right| = e^{-x}}\)

[primax]

aha rozumiem, zatem granica \(\displaystyle{ e ^{-x}}\) przy \(\displaystyle{ x \rightarrow \infty}\) wynosi \(\displaystyle{ 0}\)?

[leg14]

Tak, czyli granica \(\displaystyle{ \frac{1}{it-1}*e ^{x(it-1)}}\) tez

[primax]

Czyli funkcja charakterystyczna w sumie wyniesie:
\(\displaystyle{ \frac{1}{it-1} (0- 1)=- \frac{1}{it-1}}\)?

[leg14]

Tak

[primax]

Dziękuję