Funkcja charakterystyczna

[primax]

Witam serdecznie, mam za zadanie wyznaczyć funkcję charakterystyczną zmiennej losowej \(\displaystyle{ Z=X-2Y}\), gdzie niezależne zmienne losowe \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) mają rozkład o funkcji charakterystycznej \(\displaystyle{ \phi(t)= \frac{e ^{it}-1 }{it}}\).

Zatem:
\(\displaystyle{ \phi _{X} (t)=\frac{e ^{it}-1 }{it}}\)
\(\displaystyle{ \phi _{Y} (t)=\frac{e ^{it}-1 }{it}}\)
Co powinienem zrobić dalej?

[adi020]

Skorzystaj z tego, że \(\displaystyle{ \phi _{X+Y} (t)=\phi _{X}(t) \cdot \phi _{Y}(t)}\) oraz \(\displaystyle{ \phi _{aX}(t)= \phi _{X}(at)}\)

[primax]

Dobrze, ale Ty napisałeś \(\displaystyle{ \phi _{X+Y}(t)}\), a ja mam \(\displaystyle{ X-2Y}\), jak to wpłynie na to równanie? Tam będzie dzielenie?

[adi020]

\(\displaystyle{ \phi _{Z} (t)=\phi _{X-2Y} (t)=\phi _{X+(-2Y)} (t)=\phi _{X}(t) \cdot \phi _{-2Y}(t)=...}\)

[primax]

Czyli w ten sposób?
\(\displaystyle{ \phi _{X}(t) \cdot \phi _{-2Y}(t)=\frac{e ^{it}-1 }{it} * \frac{-2(e ^{it}-1 )}{it}= \frac{-2(e ^{2it}-2e ^{it}+1) }{(it) ^{2} }}\)
Taki będzie wynik, w dobre miejsce podstawiłem to \(\displaystyle{ -2}\)?

[Premislav]

Źle. Zachodzi następujący wzór:
\(\displaystyle{ \phi_{aX+b}(t)=e^{itb}\phi_{X}(at)}\)
dla dowolnych \(\displaystyle{ a,b \in \RR}\) i zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\). Uzasadnienie:
\(\displaystyle{ \phi_{aX+b}(t)=\mathbf{E}\left[ e^{it(aX+b)}\right]=\mathbf{E}\left[ e^{itb}\cdot e^{i(at)X}\right]=e^{itb}\mathbf{E}\left[ e^{i(at)X\right]=e^{itb}\phi_X(at)}\), c.n.d.
Skorzystałem z liniowości wartości oczekiwanej i z definicji funkcji charakterystycznej.

Zatem skoro \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) są niezależne, mają też tę samą funkcję charakterystyczną
\(\displaystyle{ \phi(t)= \frac{e^{it}-1}{it}}\), to
\(\displaystyle{ \phi_{X-2Y}(t)=\frac{e^{it}-1}{it} \cdot \frac{e^{-i2t}-1}{-2it}}\)

[primax]

Czyli jeśli podniosę \(\displaystyle{ i}\) do kwadratu to dostanę \(\displaystyle{ -1}\) jak w liczbach zespolonych?

[Premislav]

Oczywiście, to takie samo \(\displaystyle{ i,}\) jak gdzie indziej.

[primax]

Ok, a chcę policzyć \(\displaystyle{ EX}\)
czyli \(\displaystyle{ \frac{e ^{-it}-e ^{it}-e ^{-2it}+1 }{2t ^{2} }}\)
z tego liczę pochodną i liczę \(\displaystyle{ \phi _{Z}' (0)}\) i wychodzi mi w mianowniku zawsze \(\displaystyle{ 0}\), gdzie jest błąd?

[Premislav]

W tym przypadku policz \(\displaystyle{ \lim_{t \to 0} \phi_Z'(t)}\)
Samą postać funkcji charakterystycznej masz dobrze.

[primax]

Czyli będzie:
\(\displaystyle{ \frac{(-ie ^{-it}-ie ^{it}+2ie ^{-2it})*2t ^{2} -(e ^{-it}-e ^{it}-e ^{-2it}+1)*4t }{4t ^{4} }}\)
Wówczas w granicy wyjdzie symbol nieoznaczony, a reguła de l'hospitala będzie żmudna, trzeba tak postąpić?
Nie powinienem skorzystać ze wzoru:
\(\displaystyle{ EX(t)= \frac{\phi _{X}(0) }{i}}\)
Lub
\(\displaystyle{ \phi' _{X}(t)= \lim_{h \to 0 }= \frac{\phi(0+h)-\phi _{X}(0) }{h}}\) ?

[Premislav]

Jeżeli nie chcesz de l'Hospitala, to pozostaje to...

Spróbuj skorzystać z tego, że \(\displaystyle{ e^z=1+z+ \frac{z^2}{2}+ \frac{z^3}{6}+o(z^3)}\)

[primax]

Dobra dziękuję bardzo, powiedz mi jeszcze kiedy mogę liczyć pochodne i dzielić przez \(\displaystyle{ i}\) a kiedy granicę w punkcie, aby obliczyć \(\displaystyle{ EX}\)?

[Premislav]

Kiedy pochodna funkcji charakterystycznej jest określona w zerze, to po prostu znajdujesz wzór pochodnej i wstawiasz \(\displaystyle{ t=0}\), a jeżeli tak nie jest, to liczysz granicę pochodnej. Może mały przykład:
rozważmy zmienną losową \(\displaystyle{ X}\) o rozkładzie jednostajnym na odcinku \(\displaystyle{ (-1,1)}\). Jej funkcja charakterystyczna to \(\displaystyle{ \phi(t)= \int_{-1}^{1}\frac 1 2 e^{itx} \,\dd x= \frac{e^{it}-e^{-it}}{2it}= \frac{\sin t}{t}}\)

Wówczas \(\displaystyle{ \phi'(t)= \frac{t\cos t-\sin t}{t^2}}\). Oczywiście w zerze coś takiego nie jest określone, liczymy więc \(\displaystyle{ \lim_{t \to 0} \frac{t\cos t-\sin t}{t^2}}\)
Z reguły de l'Hospitala łatwo wychodzi granica zero, czyli
\(\displaystyle{ \mathbf{E}X=\frac 1 {i^1}\cdot 0=0}\)

[primax]

Aha rozumiem, czyli ta moja funkcja nie jest określona w zerze, dlatego liczę właśnie tę granicę tak?