Wartość oczekiwana liczby rzutów

[legolas]

Mamy sześcienną kostkę, 3 ścianki są żółte, 2 czerwone, 1 niebieska. Rzucamy tak długo, aż wypadnie trzy razy czerwona ścianka (niekoniecznie po kolei) - ale nie więcej, niż 6 rzutów. Oblicz wartość oczekiwaną liczby rzutów.

\(\displaystyle{ \mathbf{P}\left( X=0\right) =\mathbf{P}\left( X=1\right) =\mathbf{P}\left( X=2\right) =0 \\
\mathbf{P}\left( X=3\right) =\left( \frac{1}{3} \right)^3 \\
\mathbf{P}\left( X=4\right) =??}\)

jak to będzie tu wyglądać? Bo generalnie trzeba założyć, że raz wyrzucimy na końcu tę czerwoną ściankę. Więc po środku robimy sobie schemat Bernoulliego?

[kerajs]

Tak.
\(\displaystyle{ \mathbf{P}\left( X=0\right) =\mathbf{P}\left( X=1\right) =\mathbf{P}\left( X=2\right) =0 \\
\mathbf{P}\left( X=3\right) =\left( \frac{1}{3} \right)^3 \\
\mathbf{P}\left( X=4\right) = {3 \choose 2}( \frac{1}{3} )^2 ( \frac{2}{3} )^1 \cdot \frac{1}{3}\\
\mathbf{P}\left( X=5\right) = {4 \choose 2}( \frac{1}{3} )^2 ( \frac{2}{3} )^2 \cdot \frac{1}{3}\\
\mathbf{P}\left( X=6\right) =1- \mathbf{P}\left( X=5\right)-\mathbf{P}\left( X=4\right)-\mathbf{P}\left( X=3\right)}\)

[legolas]

Dzięki! A powiedz mi jeszcze tylko, czy zajdzie taka równość, jakby to inaczej zapisać:

\(\displaystyle{ \mathbf{P}\left( X=6\right) ={5 \choose 2}( \frac{1}{3} )^2 ( \frac{2}{3} )^3 \cdot \frac{1}{3} +{6 \choose 2}( \frac{1}{3} )^2 ( \frac{2}{3} )^4 + {6 \choose 1}\frac{1}{3} ( \frac{2}{3} )^5 \cdot \frac{1}{3}+\left( \frac{2}{3}\right)^6}\)

po kolei:
- wyrzucamy trzecią w 6-tym rzucie
- wyrzucamy dwie w sześciu rzutach
- wyrzucamy jedną
- żadnej nie wyrzucamy

//ok, wyjdzie, policzyłem