Czy to zadanie powinno tak być rozwiązane? Co jest do poprawy?
Zmienna losowa X ma rozkład wykładniczy \(\displaystyle{ \varepsilon (1)}\). Wyznacz rozkład zmiennej Y będącej polem trójkąta równobocznego o boku długości X.
\(\displaystyle{ Y=\frac{X^{2}\sqrt{3}}{4}}\)
\(\displaystyle{ f(x)=e^{-x}\mathbb{1}_{(0; \infty )}(x)}\)
Przejścia na dole są ze względu na zał. x>0, y>0
\(\displaystyle{ F_{y}(Y)=P(Y \le y) = P( \frac{X^{2}\sqrt{3}}{4} \le y) =P(X \le \frac{2\sqrt{y}}{\sqrt[4]{3} }) = \int_{0}^{\frac{2\sqrt{y}}{\sqrt[4]{3}}}e^{-x} dx = -e^{-x}|^{\frac{2\sqrt{y}}{\sqrt[4]{3}}}_{0}=-e^{-\frac{2\sqrt{y}}{\sqrt[4]{3}}}+1}\)
\(\displaystyle{ g(y)= -\frac{1}{\sqrt{y}\sqrt[4]{3}}e^{-\frac{2\sqrt{y}}{\sqrt[4]{3}}}}\)