zbieżność Lp i prawie na pewno

[gienia]

Mam takie twierdzenie, że jeśli \(\displaystyle{ X_i}\) są całkowalne i \(\displaystyle{ X}\) jest calkowalna, i

\(\displaystyle{ \sum_{1}^{ \infty } E|X_i-X|^p< \infty}\)

to \(\displaystyle{ X_n}\) zbiega prawie na pewno do \(\displaystyle{ X}\).

Z tego warunku nie wynika, że \(\displaystyle{ X_n}\) zbiega w \(\displaystyle{ L_p}\) do \(\displaystyle{ X}\)? Bo jak ta suma jest skończona, to \(\displaystyle{ E|X_i-X|^p}\) musi zbiegać do zera.
Więc wychodziłoby, że ze zbieżności w Lp wynika zbieżność prawie na pewno, a dalej w wykładzie mam powiedziane, że nie ma takiego wynikania.

[leg14]

Nie, bo ten warunek jest mocniejszy, niz zbieznosc w Lp.
Dam Ci przyklad, ktory pokaze Ci roznice:
Standardowy przyklad na nie wynikanie \(\displaystyle{ L_p \Rightarrow p.n.}\) jest nastepujacy:
\(\displaystyle{ B_n}\) ciag zdarzen niezaleznych o prawdopodobienstwach dajacych rozbiezny szereg: \(\displaystyle{ \sum_{}^{} P(B_n) = \infty}\). Wowczas ciag zmiennych losowych \(\displaystyle{ X_n = 1_{B_n}}\) zbiega w \(\displaystyle{ L_p}\) do \(\displaystyle{ X=0}\), ale czy zachodzi podany przez Ciebie warunek?

[gienia]

Ok, dziękuję, rozumiem już

[hank]

Czy zna ktoś może nazwę tego twierdzenia? Ewentualnie wie, gdzie mógłbym je znaleźć?