Przygotowuję się do olimpiady AGH z matematyki i natrafiłem na problem przy rozwiązywaniu zadania nr 7 z ubiegłorocznego drugiego etapu. Treść jest dostępna tutaj:
Losowo wybieramy liczbę \(\displaystyle{ k}\) ze zbioru \(\displaystyle{ \{1, 2, 3, 4\}}\), a następnie rzucamy sześcienną kostką. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzeń:
A: wypadną same szóstki
B: iloczyn wyrzuconych oczek będzie liczbą parzystą
C: suma wyrzuconych oczek będzie mniejsza niż \(\displaystyle{ 22}\)
Jest to dla mnie dość niestandardowe zadanie i nie mam pojęcia jak je rozwiązać bez rozpisywania wszystkich przypadków, w dodatku nie wiem jak połączyć w jedną całość wyniki uzyskane dla różnych \(\displaystyle{ k}\). Czy da się to rozwiązać jakimś bardziej eleganckim sposobem?
Prawdopodobieństwo w losowej ilości rzutów kostką
-
- Użytkownik
- Posty: 65
- Rejestracja: 18 lis 2008, o 18:41
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Olsztyn
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 11 razy
Prawdopodobieństwo w losowej ilości rzutów kostką
Dla a) nie wydaje mi się nieeleganckie to, że:
- dla ustalonego k prawdopodobieństwo k-szóstek wynosi: \(\displaystyle{ \frac{1}{6^k}}\),
- wybór k dzieli zbiór zdarzeń na rozłączne podzbiory, które sumują się do całości,
- ponieważ każda z wartości k jest równie prawdopodobna, to można wygodnie skorzystać ze wzoru na prawdopodobieństwo całkowite,
- więc prawdopodobieństwo wynosi: \(\displaystyle{ \frac{6^{-1} + 6^{-2} + 6^{-3} + 6^{-4} }{4}}\).
Pozdrawiam,
Paweł
- dla ustalonego k prawdopodobieństwo k-szóstek wynosi: \(\displaystyle{ \frac{1}{6^k}}\),
- wybór k dzieli zbiór zdarzeń na rozłączne podzbiory, które sumują się do całości,
- ponieważ każda z wartości k jest równie prawdopodobna, to można wygodnie skorzystać ze wzoru na prawdopodobieństwo całkowite,
- więc prawdopodobieństwo wynosi: \(\displaystyle{ \frac{6^{-1} + 6^{-2} + 6^{-3} + 6^{-4} }{4}}\).
Pozdrawiam,
Paweł
-
- Użytkownik
- Posty: 10
- Rejestracja: 24 mar 2014, o 19:50
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Żywiec
- Podziękował: 1 raz
Prawdopodobieństwo w losowej ilości rzutów kostką
A: \(\displaystyle{ \frac{1}{4}* \frac{1}{6}+\frac{1}{4}* \frac{1}{6 ^{2}}+\frac{1}{4}* \frac{1}{6 ^{3}}+\frac{1}{4}* \frac{1}{6 ^{4}}}\)
Rozpatruję 4 przypadki, kiedy są do wylosowania 1, 2, 3 i 4 liczby.
B: \(\displaystyle{ \frac{1}{4}* \frac{3 ^{1}}{6} + \frac{1}{4} * (1- \frac{3 ^{2}}{6 ^{2}}) + \frac{1}{4} * (1- \frac{3 ^{3} }{6 ^{3}}) + \frac{1}{4} * (1- \frac{3 ^{4} }{6 ^{4}})}\)
W każdym z 4 przypadków odejmuję od wszystkich możliwości (6^k) te złe (czyli 1,3,5 na kostce, to są wariacje z powtórzeniami 3^k)
C: \(\displaystyle{ \frac{3}{4} + \frac{1}{4}*(1- \frac{15}{6 ^{4}})}\)
W tym punkcie, możliwość złego wylosowania jest tylko w przypadku k = 4 i to tylko wtedy gdy wyniki będą 6664, 6655, 6665, 6666 (i wszystkie kombinacje tych liczb). Jest ich \(\displaystyle{ 4+6+4+1=15}\)
Jeżeli się mylę to proszę mnie poprawić, sam się do tego przygotowuję
Rozpatruję 4 przypadki, kiedy są do wylosowania 1, 2, 3 i 4 liczby.
B: \(\displaystyle{ \frac{1}{4}* \frac{3 ^{1}}{6} + \frac{1}{4} * (1- \frac{3 ^{2}}{6 ^{2}}) + \frac{1}{4} * (1- \frac{3 ^{3} }{6 ^{3}}) + \frac{1}{4} * (1- \frac{3 ^{4} }{6 ^{4}})}\)
W każdym z 4 przypadków odejmuję od wszystkich możliwości (6^k) te złe (czyli 1,3,5 na kostce, to są wariacje z powtórzeniami 3^k)
C: \(\displaystyle{ \frac{3}{4} + \frac{1}{4}*(1- \frac{15}{6 ^{4}})}\)
W tym punkcie, możliwość złego wylosowania jest tylko w przypadku k = 4 i to tylko wtedy gdy wyniki będą 6664, 6655, 6665, 6666 (i wszystkie kombinacje tych liczb). Jest ich \(\displaystyle{ 4+6+4+1=15}\)
Jeżeli się mylę to proszę mnie poprawić, sam się do tego przygotowuję