Prawdopodobieństwo, że zajdzie zdarzenie

[legolas]

Z odcinka \(\displaystyle{ \left[ -1;1\right]}\) losujemy dwie liczby \(\displaystyle{ \alpha, \beta}\). Obliczyć prawdopodobieństwo, że dla każdego \(\displaystyle{ x\in\RR}\) zajdzie \(\displaystyle{ x^2+\alpha x + \beta > \alpha}\)
Jak takie coś się robi? Z wykorzystaniem prawdopodobieństwa warunkowego?

[kerajs]

\(\displaystyle{ x^2+\alpha x + \beta - \alpha>0}\)
Nierówność zachodzi dla każdego rzeczywistego x wtedy gdy \(\displaystyle{ \Delta<0}\). Masz wiec zadanie:

Z odcinka \(\displaystyle{ \left[ -1;1\right]}\) losujemy dwie liczby \(\displaystyle{ \alpha, \beta}\). Obliczyć prawdopodobieństwo, że zajdzie zależność \(\displaystyle{ \alpha^2 -4( \beta - \alpha)<0}\)

W układzie \(\displaystyle{ \beta = f( \alpha)}\) zaznacz wskazany kwadrat, wyrysuj podaną parabolę i policz stosunek odpowiednich pól. Poradzisz sobie?

[legolas]

Ale jak mam wyznaczyć podaną parabolę, skoro nie znam parametru \(\displaystyle{ \beta}\)?
Miejsca zerowe tej paraboli to

\(\displaystyle{ \alpha_1=-2-2\sqrt{1+\beta} \\
\alpha_2=-2+2\sqrt{1+\beta}}\)

Ale co potem?

[kerajs]

Po co sobie utrudniasz, przyjmij: beta - oś pionowa (y), alfa - oś pozioma (x)
Parabola:
\(\displaystyle{ \beta = \frac{1}{4} \alpha ( \alpha +4)}\)
(Prawie jak \(\displaystyle{ y= \frac{1}{4}x(x+4)}\))
Ciebie interesuje obszar nad nią bo:
\(\displaystyle{ \beta > \frac{1}{4} \alpha ( \alpha +4)}\)


Z kwadratu o wierzchołkach \(\displaystyle{ (1,1), (1,-1),(-1,-1),(-1,1)}\) nierówność wycina pewne pole P

Szukane prawdopodobieństwo to \(\displaystyle{ P(zdarz) = \frac{P}{2^2}}\)

Ukryta treść:    

O ile się nie pomyliłem to:
\(\displaystyle{ P= \int_{-1}^{2 \sqrt{2}-2 }\left( 1-\frac{1}{4} \alpha ( \alpha +4)\right)\dd \alpha}\)

PS
Gdybyś szukał podobnych zadań, to znajdziesz je frazą: prawdopodobieństwo geometryczne.

[legolas]

Sprytnie. Dziękuję.