pokazać, że MPWL nie zachodzi

[gienia]

\(\displaystyle{ P(X_n= \pm (n+1))=\frac{1}{2(n+1)log(n+1)}, P(X_n=0)=1-\frac{1}{(n+1)log(n+1)}}\).

Jak pokazać, że to nie spełnia MPWL?

Znam tylko warunek konieczny, że \(\displaystyle{ \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}(X_i-EX_i) \rightarrow 0 \Rightarrow \frac{1}{n} (X_i-EX_i) \rightarrow 0}\). (to ma być zbieżność z prawdopodobieństwem 1, tylko nie umiem jedynek nad strzałki włożyć)

Czyli mam pokazać, że nie ma zbieżności z prawdopodobieństwem 1 \(\displaystyle{ \frac{X_n}{n}}\) do zera.
Czyli \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } P( \bigcup_{k \ge n}^{} \frac{|X_k|}{k}> \epsilon) \neq 0}\).

I nie wiem jak to zrobić. Chyba że jakiś inny warunek konieczny jest, z którego to się łatwiej sprawdza?
Albo w ogóle jakoś źle myślę?

[Premislav]

To zadanie jest już rozwiązane na forum, proszę:
371668.htm-- 24 sty 2017, o 22:51 --Aha, popraw treść, bo prawdopodobieństwa nie sumują się do \(\displaystyle{ 1}\).

[gienia]

Dzięki!
Poprawione -- 28 sty 2017, o 17:13 --Czyli ogólnie, jeśli \(\displaystyle{ X_n}\) są niezależne, to zachodzi równoważność:

\(\displaystyle{ \forall_{\epsilon>0} \sum_{n=1}^{ \infty } P(|X_n-X|>\epsilon)< \infty \Leftrightarrow X_n}\) zbiega prawie na pewno do \(\displaystyle{ X}\)?

Bo w wykładach znalazłam tylko, że jest to warunek dostateczny zbieżności (bez założenia o niezależności) - to jak są niezależne, to jest to też warunek konieczny?