Zbadać niezależność zmiennych

[legolas]

Dwuwymiarowy wektor losowy \(\displaystyle{ (X,Y)}\) ma rozkład ciągły o gęstości

\(\displaystyle{ f(x,y)= \begin{cases} \frac{3}{4}y^2 &\text{ dla } 0\le x\le y+2\le2 \\ 0 &\text{ dla p.p.} \end{cases}}\)

I teraz tak, ten obszar to jest trójkąt o wierzchołkach \(\displaystyle{ (0,0), (2,0), (0,-2)}\)

liczę gęstość brzegową dla \(\displaystyle{ x}\):

\(\displaystyle{ f_X(x)=\int_\RR f_{x,y}(x,y)\dd y = \begin{cases} \int_{x-2}^0\frac{3}{4}y^2\dd y &\text{ dla } x\in\left( 0;2\right) \ \\ 0 &\text{ dla p.p.} \end{cases}}\)

Analogicznie \(\displaystyle{ y}\):

\(\displaystyle{ f_Y(y)=\int_\RR f_{x,y}(x,y)\dd x=\begin{cases} \int_{0}^{y+2}\frac{3}{4}y^2\dd x &\text{ dla } y\in\left( -2;0\right) \ \\ 0 &\text{ dla p.p.} \end{cases}}\)

I teraz trzeba sprawdzić, czy
\(\displaystyle{ f_{x,y}(x,y)=f_X(x,y)\cdot f_Y(x,y)}\)

i np. wstawić jakiś punkt, typu \(\displaystyle{ (2,1)}\) aby sprawdzić, czy taka równość zachodzi. Jest w miarę ok?

[Premislav]

Tak, wygląda to dobrze. Ale nie do końca rozumiem fragment ze wstawianiem jakiegoś punktu - to by Ci tylko pomogło znaleźć kontrprzykład, jeśli \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) nie są niezależne.
Bo jeżeli są, to nie ma co wstawiać, tylko trzeba pokazać, że w ogólności gęstość łączna daje się przedstawić w postaci takiego iloczynu gęstości brzegowych.