zbadać zbieżności

[gienia]

\(\displaystyle{ (X_n)}\) - ciąg zmiennych losowych o gęstościach \(\displaystyle{ f_n(x)=2n^2x\mathbbb{1}_{[0,\frac{1}{n}]}(x), n=1, 2,...}\)

Czy ciąg jest zbieżny z prawdopodobieństwem 1, według prawdopodobieństwa, w \(\displaystyle{ L_p}\)?

Nie wiem jak to zrobić. \(\displaystyle{ EX_n}\) mi wyszło \(\displaystyle{ \frac{2}{3n} \rightarrow 0}\), ale nie wiem, czy mi to coś daje.

[Premislav]

Ja bym zaczął od zbadania zbieżności według rozkładu, bo granica, jaka wyjdzie z rozważenia zbieżności wg rozkładu to jedyny sensowny kandydat na granicę z p-stwem 1, według prawdopodobieństwa i tak dalej (gdyż jest to "najsłabsza" z tych zbieżności, które znam, a więc ze zbieżności ciągu \(\displaystyle{ (X_n)}\) do \(\displaystyle{ X}\) wg prawdopodobieństwa wynika zbieżność wg rozkładu i tak dalej).

Podpowiem, że wychodzi dystrybuanta \(\displaystyle{ F_n(x)=x^2n^2 \mathbf{1}_{[0, 1/n]}(x)+\mathbf{1}_{(1/n, +\infty)}(x)}\) i jedyny sensowny kandydat na granicę, to rozkład jednopunktowy skupiony w \(\displaystyle{ 0}\).

No i dalej rozważasz tę zbieżność wg prawdopodobieństwa itd. Czyli:
sprawdzasz czy dla każdego \(\displaystyle{ \epsilon>0}\) jest
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \mathbf{P}(|X_n-0|>\epsilon)=0}\) i tak dalej. Choć mocniejszą własnością jest zbieżność prawie na pewno, więc ją wypadałoby sprawdzić najpierw.

Jest też taki lemat: jeśli ciąg zmiennych losowych \(\displaystyle{ (X_n)}\) zbiega według rozkładu do stałej \(\displaystyle{ c}\), to ma też miejsce zbieżność według prawdopodobieństwa.

[gienia]

No tylko mam problem ze sprawdzeniem tych zbieżności do zera z prawdopodobieństwem 1 i według prawdopodobieństwa (gdyby nie korzystać z tego lematu ze stałą).

\(\displaystyle{ P(|X_n|>\epsilon)=1-F_n(\epsilon)=1-n^2\epsilon ^2}\).
Nie wiem jak to zapisać, żeby widać było, że \(\displaystyle{ n^2\epsilon ^2 \rightarrow 1}\).

I jeszcze żeby z prawdopodobieństwem 1 sprawdzić, to muszę policzyć \(\displaystyle{ \sum_{}^{} (1-n^2\epsilon ^2)}\), też nie wiem co z tym zrobić.

[Premislav]

To chyba nie jest trudne (przynajmniej zbieżność wg prawdopodobieństwa). Wystarczy nie gubić tych indykatorów (w ogóle ten gatunek drobiu jest zdrowy, hehe, hihi, jaki żarcik). Ustalmy dowolne
\(\displaystyle{ \epsilon>0}\). Wówczas istnieje takie \(\displaystyle{ n_0 \in \NN}\), że dla wszystkich \(\displaystyle{ n \in \NN}\) większych od \(\displaystyle{ n_0}\) zachodzi \(\displaystyle{ \epsilon > \frac{1}{n}}\).
Wtedy \(\displaystyle{ \mathbf{P}(|X_n|>\epsilon)=\mathbf{P}(X_n>\epsilon)=1-F_n(\epsilon)=1-1=0}\),
bo przypominam, że \(\displaystyle{ F_n(x)=x^2n^2 \mathbf{1}_{[0, 1/n]}(x)+\mathbf{1}_{(1/n, +\infty)}(x)}\), a dla \(\displaystyle{ n>n_0}\) nasz \(\displaystyle{ \epsilon}\) wpada w przedział \(\displaystyle{ \left(\frac 1 n, +\infty\right)}\)

Stąd natychmiast mamy zbieżność wg prawdopodobieństwa. Teraz zajmijmy się zbieżnością z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ 1.}\) [tj. prawie na pewno]

Nie wiem, jak Ty liczysz zbieżność z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ 1.}\) Czy sprawdzasz może taki warunek (znalazłem w książce Jakubowskiego i Sztencla):
\(\displaystyle{ (\forall \epsilon>0)\left( \lim_{N \to \infty}\mathbf{P}\left( \bigcup_{n=N}^{ \infty }\left\{ |X_n-X|>\epsilon \right\}\right)=0 \right)}\)
dla \(\displaystyle{ X\equiv0}\)
Ja bym wystartował od nierówności Boole'a (prawdopodobieństwo sumy zdarzeń nie przekracza sumy prawdopodobieństw), a potem spróbował zapisać, że
\(\displaystyle{ \mathbf{P}(|X_n|>\epsilon)=\mathbf{P}(X_n>\epsilon)=\mathbf{P}(X_n^2>\epsilon^2)}\) i teraz bym to oszacował z góry na mocy nierówności Czebyszewa.

[gienia]

Ustalmy dowolne
\(\displaystyle{ \epsilon>0}\). Wówczas istnieje takie \(\displaystyle{ n_0 \in \NN}\), że dla wszystkich \(\displaystyle{ n \in \NN}\) większych od \(\displaystyle{ n_0}\) zachodzi \(\displaystyle{ \epsilon > \frac{1}{n}}\).
Wtedy \(\displaystyle{ \mathbf{P}(|X_n|>\epsilon)=\mathbf{P}(X_n>\epsilon)=1-F_n(\epsilon)=1-1=0}\),
bo przypominam, że \(\displaystyle{ F_n(x)=x^2n^2 \mathbf{1}_{[0, 1/n]}(x)+\mathbf{1}_{(1/n, +\infty)}(x)}\), a dla \(\displaystyle{ n>n_0}\) nasz \(\displaystyle{ \epsilon}\) wpada w przedział \(\displaystyle{ \left(\frac 1 n, +\infty\right)}\)

A no właśnie, tu nie wpadłam na to, że się epsilona ustala i mi się wydawało, że jak się małego dostatecznie weźmie, to będzie w ten pierwszy indykator wpadał. Ale już rozumiem.


Tak, z tego samego warunku sprawdzam zbieżność z prawdopodobieństwem 1.

Dzięki za pomoc!