Wyznacz najmniejszą wartość a

[Manfred24]

Niech \(\displaystyle{ \left( X_{n} \right)_{n}}\) będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o tym samym rozkładzie zadanym dystrybuantą

\(\displaystyle{ F\left( t\right) = \left\{\begin{array}{l} 0, t < -1\\1/4, -1 \le t < 0\\3/4, 0 \le t<1\\1, t \ge 1 \end{array}}\)

Wyznacz najmniejszą wartość a, dla której \(\displaystyle{ P(\left| \sum_{n=1}^{800} \right| X_{n}| \ge a) \le 0.16}\)



Powinniśmy chyba skorzystać z CTG, jednak mimo to nie wiem jak się zabrać za to zadanie.

Z góry dziękuję za pomoc

[Premislav]

Co za dziwaczny zapis... czy chodziło Ci o
\(\displaystyle{ \mathbf{P}\left(\left| \sum_{n=1}^{800} X_{n}\right| \ge a\right) \le 0.16}\)

Równoważnie:
\(\displaystyle{ \mathbf{P}\left( \sum_{n=1}^{800} X_{n}\le -a \right)+ \mathbf{P}\left( \sum_{n=1}^{800} X_{n}\ge a\right)\le 0.16}\)

Dalej zauważ, że
\(\displaystyle{ \mathbf{P}\left( \sum_{n=1}^{800}X_n \ge a \right)=\mathbf{P}\left( \frac{ \sum_{n=1}^{800}(X_n-\mathbf{E}X_n) }{\sqrt{800}\sigma X_1} \ge \frac{a-800\mathbf{E}X_1}{\sqrt{800}\sigma X_1} \right)}\),
gdyż zmienne losowe \(\displaystyle{ X_n}\) mają ten sam rozkład. \(\displaystyle{ \sigma X_1}\) to odchylenie standardowe \(\displaystyle{ X_1}\) (pierwiastek z wariancji).
Wartość oczekiwana sumy (skończenie wielu) zmiennych losowych to suma wartości oczekiwanych, a wariancja (skończonej oczywiście) sumy niezależnych zmiennych losowych to suma ich wariancji.

Mając podaną dystrybuantę
\(\displaystyle{ F\left( t\right) = \left\{\begin{array}{l} 0, t < -1\\1/4, -1 \le t < 0\\3/4, 0 \le t<1\\1, t \ge 1 \end{array}}\)
możesz policzyć wspólną wartość oczekiwaną \(\displaystyle{ \mathbf{E}X_1}\) i wariancję \(\displaystyle{ \sigma^2 X_1}\). Popatrz najpierw, gdzie występują skoki dystrybuanty, zobaczysz, że
\(\displaystyle{ \mathbf{P}\left( X_n=-1\right) =\frac 1 4, \mathbf{P}\left( X_n=0\right)=\frac 3 4-\frac 1 4,
\mathbf{P}(X_n=1)=1-\frac 3 4}\)

[legolas]

Chciałbym dokończyć to zadanie.

\(\displaystyle{ \mathbf{E}X=-1\cdot\frac{1}{4}+0\cdot\frac{1}{2}+1\cdot\frac{1}{4}=0 \\
\mathbf{E}X^2=(-1)^2\cdot\frac{1}{4}+1\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{2} \\
\text{Var} X=\mathbf{E}X^2-\mathbf{E}^2X=\frac{1}{2}}\)

I teraz

\(\displaystyle{ \mathbf{P}\left(\left| \sum_{n=1}^{800} X_{n}\right| \ge a\right)=\mathbf{P}\left(-a \le \sum_{n=1}^{800} X_{n} \le a\right) =\mathbf{P}\left( \frac{-a-0}{20} \le \frac{\sum_{n=1}^{800} X_{n} -0}{20} \le \frac{a-0}{20} \right) =\Phi\left( \frac{a}{20} \right)- \Phi\left( \frac{-a}{20} \right)=2\Phi\left( \frac{a}{20} \right)-1\le 0.16 \\
\Phi\left( \frac{a}{20} \right) \le 0.58=\Phi\left( 0.2\right)=\Phi\left( \frac{1}{5} \right) \rightarrow a\le4}\)

Ale kurczę, coś robię źle, bo w pytaniu było wyznacz najmniejsze \(\displaystyle{ a}\) - a wg tego to by wychodziło, że to \(\displaystyle{ a}\) to by było \(\displaystyle{ 0}\)?

[Premislav]

\(\displaystyle{ \mathbf{P}\left(\left| \sum_{n=1}^{800} X_{n}\right| \ge a\right)=\mathbf{P}\left(-a \le \sum_{n=1}^{800} X_{n} \le a\right)}\)

Ale to nie jest prawdą. Źle zdjąłeś ten moduł.

[legolas]

Chyba za głupi jestem na probablistykę, nic na to nie poradzę :/ pod koniec nie wiem co z tym zrobić
Dystrybuanta:

\(\displaystyle{ \begin{tabular}{c|c|c|c}
X & -1 & 0 & 1 \\ \hline
& 1/6 & 4/6 &1/6
\end{tabular}\newline\newline\newline}\)

Wartość oczekiwana i wariancja:

\(\displaystyle{ \newline\mathbf{E}X=(-1)\cdot\frac{1}{6}+0\cdot\frac{4}{6}+1\cdot\frac{1}{6}=0
\newline\mathbf{E}X^2=(-1)^2\cdot\frac{1}{6}+0^2\cdot\frac{4}{6}+1^2\cdot\frac{1}{6}=\frac{1}{3}
\newline\text{Var}X=\mathbf{E}X^2-\mathbf{E}^2X=\frac{1}{3}=\sigma^2\rightarrow \sigma=\sqrt{\frac{1}{3}}\newline\newline}\)

Rozpisanie modułu:

\(\displaystyle{ \newline\newline \mathbb{P}\left(\left|\sum_{n=1}^{300} X_n\right|\le a\right)=\mathbb{P}\left(a\le\sum_{n=1}^{300} X_n\le-a\right)=\star\newline}\)

Standaryzacja:

\(\displaystyle{ \newline\newline\star=\mathbb{P}\left(\frac{a-300\mathbf{E}X_1}{\sqrt{300}\sqrt{\text{Var}X}}\le\frac{\sum_{n=1}^{300} \left(X_n-\mathbf{E}X_n\right)}{\sqrt{300}\sqrt{\text{Var}X}}\le \frac{-a-300\mathbf{E}X_1}{\sqrt{300}\sqrt{\text{Var}X}}\right) = \star\newline\newline}\)

Aproksymacja z użyciem rozkładu normalnego:

\(\displaystyle{ \newline\newline\star\approx \Phi\left(\frac{-a}{\sqrt{100}}\right)-\Phi\left(\frac{a}{\sqrt{100}}\right)=1-\Phi\left(\frac{a}{10}\right)-\Phi\left(\frac{a}{10}\right)=1-2\Phi\left(\frac{a}{10}\right)\le0.32\newline\newline}\)

\(\displaystyle{ \newline\newline\Phi\left(\frac{a}{10}\right)\ge \frac{0.68}{2}=0.34}\)

I w sumie co mam z tym zrobić? jedyne co mi przychodzi do głowy to takie działanie:

\(\displaystyle{ -\Phi\left(\frac{a}{10}\right)\le-0.34 \\
1-\Phi\left(\frac{a}{10}\right)\le1-0.34=0.68 \\
\Phi\left(-\frac{a}{10}\right)\le0.68=\Phi\left( 0.47\right) \\
-a\le4.7 \\
a\ge-4.7}\)

Czy to się trzyma kupy?

[Premislav]

Dystrybuanta:

\(\displaystyle{ \begin{tabular}{c|c|c|c}
X & -1 & 0 & 1 \\ \hline
& 1/6 & 4/6 &1/6
\end{tabular}\newline\newline\newline}\)

to nie jest dystrybuanta...

\(\displaystyle{ \newline\newline \mathbb{P}\left(\left|\sum_{n=1}^{300} X_n\right|\le a\right)=\mathbb{P}\left(a\le\sum_{n=1}^{300} X_n\le-a\right)}\)

Taki zapis nie ma sensu. Już tłumaczę, czemu: żeby było sens rozważać nierówność typu
\(\displaystyle{ \left|\sum_{n=1}^{300} X_n\right|\le a}\),
musimy mieć \(\displaystyle{ a\ge 0}\), inaczej to zdarzenie jest niemożliwe.

A potem u Ciebie występuje:

\(\displaystyle{ \mathbb{P}\left(a\le\sum_{n=1}^{300} X_n\le-a\right)}\)

co ma sens tylko dla \(\displaystyle{ a\le 0}\).

Powinno być tak przekształcone:
\(\displaystyle{ \mathbb{P}\left(\left|\sum_{n=1}^{300} X_n\right|\le a\right)=\mathbf{P}\left(-a \le\sum_{n=1}^{300} X_n \le a\right)=\\=\mathbf{P}\left(\sum_{n=1}^{300} X_n \le a \right)-\mathbf{P}\left( \sum_{n=1}^{300} X_n <- a\right)}\)

Zakładając, że w tabelce był po prostu rozkład, a nie "dystrybuanta" (która z natury rzeczy jest funkcją niemalejącą), masz dobrze policzoną średnią i odchylenie standardowe, więc to, co napisałem, możesz przybliżyć z CTG poprzez
\(\displaystyle{ \Phi\left( \frac{a}{\sqrt{300} \sqrt{\frac 1 3} } \right) -\Phi\left(- \frac{a}{\sqrt{300}\sqrt{\frac 1 3}} \right)=2\Phi\left( \frac{a}{\sqrt{300} \sqrt{\frac 1 3} } \right) -1=2\Phi\left( \frac a {10}\right)-1}\)
skorzystałem jeszcze z własności \(\displaystyle{ \Phi(-x)=1-\Phi(x)}\).-- 23 sty 2017, o 02:47 --Tak teraz patrzę, że zmieniłeś zupełnie dane liczbowe w stosunku do tych z pierwotnego problemu, który podał Manfred24... Niewidomy jestem. Ale w każdym razie napisałem prawdę.

[legolas]

Mhm, rozumiem.

No to jeszcze to kończąc:

\(\displaystyle{ 2\Phi\left( \frac a {10}\right)-1\le0.32\rightarrow\Phi\left( \frac a {10}\right)\le0.66=\Phi\left( 0.42\right)}\)

Czyli

\(\displaystyle{ 0\le a\le 4.2}\)

Dzięki!

[klucyszy]

Moglibyście jeszcze raz prześledzić, ze mną przekształcenie:

\(\displaystyle{ \mathbf{P}\left(\left| \sum_{n=1}^{800} X_{n}\right| \ge a\right) \le 0.16}\)
\(\displaystyle{ \mathbf{P}\left( \sum_{n=1}^{800} X_{n}\le -a \right)+ \mathbf{P}\left( \sum_{n=1}^{800} X_{n}\ge a\right)\le 0.16}\)

\(\displaystyle{ \mathbf{P}\left( \sum_{n=1}^{800} X_{n}\le -a \right)+1 - \mathbf{P}\left( \sum_{n=1}^{800} X_{n} \le a\right)\le 0.16}\)

\(\displaystyle{ \mathbf{P}\left( \sum_{n=1}^{800} X_{n}\le -a \right) - \mathbf{P}\left( \sum_{n=1}^{800} X_{n} \le a\right)\le -0.84}\)

\(\displaystyle{ -\mathbf{P}\left( \sum_{n=1}^{800} X_{n}\le -a \right)+\mathbf{P}\left( \sum_{n=1}^{800} X_{n} \le a\right) \ge 0.84}\)

Znając: \(\displaystyle{ EX = 0, VarX = 0.5}\), oraz korzystając z CTG:

\(\displaystyle{ -\Phi\left( \frac{-a}{20}\right) +\Phi\left( \frac{a}{20}\right) \ge 0.84}\)
\(\displaystyle{ -\left(1 - \Phi\left( \frac{-a}{20}\right)\right) +\Phi\left( \frac{a}{20}\right) \ge 0.84}\)

\(\displaystyle{ 2\Phi\left( \frac a {20}\right)-1 \ge 0.84\rightarrow\Phi\left( \frac a {20}\right) \ge 0.92}\)

Stosując funkcję odwrotną wyznaczam a:

\(\displaystyle{ \frac{a}{20} \ge \Phi^{-1}\left( 0.92\right) = 1.405}\)

[Premislav]

Wygląda w miarę OK. Jedna uwaga: w tym miejscu

\(\displaystyle{ \mathbf{P}\left( \sum_{n=1}^{800} X_{n}\le -a \right)+1 - \mathbf{P}\left( \sum_{n=1}^{800} X_{n} \le a\right)\le 0.16}\)

jednak lepiej dać ostrą nierówność, tj.
\(\displaystyle{ \mathbf{P}\left( \sum_{n=1}^{800}X_n \ge a\right) =1-\mathbf{P}\left( \sum_{n=1}^{800} X_n<a\right)}\), jako że rozkład
\(\displaystyle{ \sum_{}^{} X_n}\) jest, ściśle rzecz biorąc, dyskretny, bo i taki jest rozkład \(\displaystyle{ X_n}\).

Nie sprawdzałem, czy dobrze odczytałeś z tablic rozkładu normalnego (choć tak na oko, kojarząc kształt standardowego rozkładu normalnego, wygląda to dobrze), bo mi się po prostu nie chce, ale poza tym w porządku.

Aha, w tym miejscu:

\(\displaystyle{ -\Phi\left( \frac{-a}{20}\right) +\Phi\left( \frac{a}{20}\right) \ge 0.84\\
-\left(1 - \Phi\left( \frac{-a}{20}\right)\right) +\Phi\left( \frac{a}{20}\right) \ge 0.84}\)

masz jakąś literówkę. Jak rozumiem, korzystasz z \(\displaystyle{ 1-\Phi(-x)=\Phi(x)}\)
W drugiej linijce oczywiście powinno być:
\(\displaystyle{ -\left(1 - \Phi\left( \frac{a}{20}\right)\right) +\Phi\left( \frac{a}{20}\right) \ge 0.84}\)
- tamten minus był niepotrzebny. Ale to chyba czyste przeoczenie, bo dalej masz poprawnie.