prawdopodobieństwo, nierówność

[gienia]

Z czego to:

\(\displaystyle{ P(|X|+|Y|>\epsilon) \le P(|X|>\frac{\epsilon}{2})+P(|Y|>\frac{\epsilon}{2})}\)

wynika?

[Premislav]

Jeżeli \(\displaystyle{ |X|+|Y|>\epsilon}\), to musi zajść co najmniej jedna z nierówności
\(\displaystyle{ |X|>\frac \epsilon 2. |Y|>\frac \epsilon 2}\).
Innemi słowy,
\(\displaystyle{ \mathbf{P}(|X|+|Y|>\epsilon) \le \mathbf{P}\left( \min (|X|,|Y|)>\frac \epsilon 2\right)=\mathbf{P}\left( |X|> \frac \epsilon 2 \vee |Y|> \frac \epsilon 2\right)}\)
Teraz korzystamy z nierówności Boole'a i tyle:
\(\displaystyle{ \mathbf{P}\left( |X|> \frac \epsilon 2 \vee |Y|> \frac \epsilon 2\right) \le \mathbf{P}\left( |X|> \frac \epsilon 2\right)+\mathbf{P}\left( |Y|> \frac \epsilon 2\right)}\)

[gienia]

Nie powinno być maksimum zamiast minimum?

[Premislav]

O, fakt, pardon. Dalej jest poprawnie, czyli tak, jakby było gdyby tam wstawić
\(\displaystyle{ \mathbf{P}\left( \max(|X|,|Y|>\frac \epsilon 2\right)}\)

Ech, ta moja dysleksja... Setki przeczytanych książek i dalej to samo (choć może strach myśleć, coby było, gdybym tyle nie czytał).