Dany jest ciąg \(\displaystyle{ \left( X_{n} \right)_{n \ge 1}}\) niezależnych zmiennych losowych o gęstości \(\displaystyle{ g(x)=4xe^{-2x}1_{[0, infty )}(x)}\)
Ciąg \(\displaystyle{ Y_{n}=e^{X_{1}+...+X_{n}-n}}\) jest martyngałem naturalnej filtracji. Niech moment zatrzymania \(\displaystyle{ T=inf(n:Y_{n} \ge 2)}\).
Dowieść, że \(\displaystyle{ P(T= \infty )>0}\)
\(\displaystyle{ P(T= \infty )=P(\forall_{k \in N}Y_{k}<2)}\)
Policzyłem gęstość \(\displaystyle{ Z_{n}=X_{1}+...+X_{n}}\) która wyniosła \(\displaystyle{ f(x)=4^{n} \frac{x ^{2n-1} }{(2n-1)!}e ^{-2x}}\) ale wydaje mi się, że nie tędy droga.
Nawet jeśli wyliczę \(\displaystyle{ P(Y_{n}<2)=P(Z_{n}<ln(2)+n)}\) to jak przejść stąd do \(\displaystyle{ P(\forall_{k \in N}Y_{k}<2)}\) skoro zmienne \(\displaystyle{ Y_{k}}\) nie są niezależne?
Jak się inaczej za to zabrać?