Znajdź gęstość wektora oraz współczynnik korelacji.

[Manfred24]

Zmienne losowe \(\displaystyle{ X\sim N\left( 2,9\right)}\) oraz \(\displaystyle{ Y\sim N\left(-1,4\right)}\) są niezależne. Znajdź gęstość wektora \(\displaystyle{ \left( S, T\right) = \left( X+2Y, X-Y-3\right)}\). Oblicz współczynnik \(\displaystyle{ \rho\left( S-T,2S+1\right)}\)

Nie wiem jak zacząć to zadanie.

[Premislav]

Część pierwsza: skoro te zmienne losowe są niezależne i mają rozkłady takie, jak podane, to wektor losowy \(\displaystyle{ (X,Y)}\) ma dwuwymiarowy rozkład normalny z wektorem średnich (wartości oczekiwanych) \(\displaystyle{ (\mathbf{E}X, \mathbf{E}Y)=(2,-1)}\)
oraz macierzą kowariancji
\(\displaystyle{ \Sigma=\left[ \begin{array}{cc} 9 & 0\\ 0 & 4 \end{array} \right]}\)
- na głównej przekątnej masz kolejno wariancję rozkładu \(\displaystyle{ X}\) i rozkładu \(\displaystyle{ Y}\), a w pozostałych polach masz współczynniki kowariancji \(\displaystyle{ \mathbf{E}XY-\mathbf{E}X\mathbf{E}Y=\mathbf{E}YX-\mathbf{E}Y\mathbf{E}X}\) - są one równe zero, bo zmienne losowe \(\displaystyle{ X,Y}\) są niezależne.
Następnie, gdy na ten wektor losowy \(\displaystyle{ (X,Y)}\) ma wektor wartości oczekiwanych \(\displaystyle{ m}\) (czyli wartość oczekiwaną wektora) i macierz kowariancji \(\displaystyle{ \Sigma}\) oraz zadziałasz na
\(\displaystyle{ (X,Y)}\) przekształceniem liniowym (zdaje się) o macierzy \(\displaystyle{ A}\), to
wektor losowy \(\displaystyle{ A(X,Y)}\) ma również wielowymiarowy (tu dwuwymiarowy) rozkład normalny z wektorem średnich \(\displaystyle{ Am}\) i macierzą kowariancji \(\displaystyle{ A\Sigma A^T}\).
\(\displaystyle{ T}\) oznacza tu transpozycję.-- 21 sty 2017, o 16:51 --Tutaj mamy \(\displaystyle{ A=\left[ \begin{array}{cc} 1 & 2\\ 1 & -1 \end{array} \right]}\) i w ten sposób dostaniesz dane o rozkładzie wektora losowego
\(\displaystyle{ (X+2Y,X-Y)}\), no a chyba potem zmodyfikowanie tego o te głupią trójkę to nie jest wyzwanie.

[legolas]

W sumie też robię podobne zadania, to się podepnę.

\(\displaystyle{ \textbf{m'}=\left[\begin{array}{c}2 \ -1\end{array}\right] \\
\textbf{m=Am'}=\left[\begin{array}{c}0 \ \ 3\end{array}\right]}\)
I czy w takim razie
\(\displaystyle{ (\mathbf{E}S, \mathbf{E}T)=\left[\begin{array}{c}0 \ \ 0\end{array}\right]}\)
?
Chodzi mi konkretnie o tę \(\displaystyle{ -3}\), czy to dobrze robię. Dalej
\(\displaystyle{ \text{Cov}(X+2Y,X-Y-3)= \begin{bmatrix} 25&1\\1&13\end{bmatrix} \\}\)

I w sumie nic nie zmieniałem (mam na myśli to minus trzy); oj, słówka "det" zapomniałem tu dodać

\(\displaystyle{ \text{Var}\left( X+2Y\right) = \text{Var}X+4\text{Var}Y=9+4\cdot4=25 \rightarrow \sigma_1=5 \\
\text{Var}\left( X-Y-3\right) = \text{Var}X+\text{Var}Y=9+4=13 \rightarrow \sigma_2=\sqrt{13}}\)

I niech \(\displaystyle{ \textbf{P}=\left( S,T\right) ^T}\)

I analogicznie \(\displaystyle{ \textbf{p}=\left( s,t\right)^T}\)

I teraz mamy macierz

\(\displaystyle{ \textbf{C}_\textbf{P}=\begin{bmatrix} c_{11}&c_{12}\\c_{12}&c_{22}\end{bmatrix}}\)

gdzie

\(\displaystyle{ c_{11}=\text{Var} S=\sigma_1^2, \ c_{22}=\text{Var}T=\sigma_2^2, \ c_{12}=\text{Cov}\left( S,T\right) =\rho_{S,T}\sigma_1\sigma_2}\)

No i aby uzyskać rozkład \(\displaystyle{ f_{S,T}\left( S,T\right)}\) to wystarczy tylko podstawić do wzoru

\(\displaystyle{ f_{S,T}\left( S,T\right)=\frac{1}{2\pi\sqrt{\text{dec}\textbf{C}_\textbf{P}}}\exp\left\{ -\frac{\left( \textbf{p - m}\right)\textbf{C}_\textbf{P}^T\left( \textbf{p - m}\right) }{2}\right\}}\)

O to chodzi?

EDIT:
Chyba coś kompletnie pomieszałem. Czyżby moje \(\displaystyle{ C_P}\) było odpowiednikiem macierzy kowariancji, czyli Twojego \(\displaystyle{ \Sigma}\)?