Zbieżność wg rozkładu.

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
Awatar użytkownika
Red John
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 27
Rejestracja: 9 lis 2014, o 22:10
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 14 razy
Pomógł: 1 raz

Zbieżność wg rozkładu.

Post autor: Red John »

\(\displaystyle{ X_n\sim Poiss(\lambda_n)}\). Pokazać, że \(\displaystyle{ \frac{X_n-\lambda_n}{\sqrt{X_n}}\xrightarrow{\tex{d}}N(0,1)}\), gdy \(\displaystyle{ \lambda_n\rightarrow \infty}\).

Miałem pomysł by zapisać: \(\displaystyle{ \frac{X_n-\lambda_n}{\sqrt{\lambda_n}} \cdot \frac{\sqrt{\lambda_n}}{\sqrt{X_n}}}\) i skorzystać z lematu Słuckiego.

Pierwszy składnik zbiega do \(\displaystyle{ N(0,1)}\) wg rozkładu (było do pokaznia wcześniej w zadaniu) i musiałbym pokazać, że \(\displaystyle{ \sqrt{\frac{\lambda_n}{X_n}}}\) zbiega do 1 wg prawdopodobieństwa, ale nie potrafię tego wykazać. Nie wiem czy to nie jest ślepy zaułek.
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Zbieżność wg rozkładu.

Post autor: Premislav »

Ja bym wykazał, bo tak chyba wygodniej, że
\(\displaystyle{ sqrt{ frac{lambda_n}{X_n} }}\) zbiega do \(\displaystyle{ 1}\) według rozkładu, a potem skorzystałbym z takiego lematu, ze jeśli ciąg zmiennych losowych \(\displaystyle{ (Y_n)}\) zbiega do stałej \(\displaystyle{ c}\) według rozkładu, to zbiega też do niej wg prawdopodobieństwa.
Nie wykonywałem jednak szczegółowych rachunków, jak będę mieć trochę czasu, to jeszcze się temu przyjrzę.-- 16 sty 2017, o 21:58 --OK, policzyłem trochę:
pokażemy, że \(\displaystyle{ frac{X_n}{lambda_n}}\) zbiega do \(\displaystyle{ 1}\) wg rozkładu, a gdy mamy to, to już wystarczy trochę pomachać rękami.
Ustalmy na moment \(\displaystyle{ nin NN}\) i znajdźmy funkcję charakterystyczną rozkładu zmiennej
\(\displaystyle{ Y_n= frac{X_n}{lambda_n}}\):
rzecz jasna funkcja charakterystyczna \(\displaystyle{ X_n}\) ma postać
\(\displaystyle{ varphi_{X_n}(t)=expleft( lambda_n(e^{it}-1)
ight)}\)
, a więc funkcja charakterystyczna
zmiennej losowej \(\displaystyle{ Y_n= frac{X_n}{lambda_n}}\) wygląda tak:
\(\displaystyle{ expleft( lambda_n(e^{i frac{t}{lambda_n} }-1)
ight)}\)

Powiedzmy teraz, że \(\displaystyle{ lim_{n o infty }lambda_n=+infty}\). Wówczas chcemy uzasadnić, że dla ustalonego \(\displaystyle{ t}\) zachodzi:
\(\displaystyle{ lim_{n o infty } expleft( lambda_n(e^{i frac{t}{lambda_n} }-1)
ight)=exp(it)}\)

- jest to funkcja charakterystyczna rozkładu jednopunktowego, który jest skupiony w \(\displaystyle{ 1}\).
Wykażemy, więc, że
\(\displaystyle{ lim_{n o infty } lambda_n(e^{i frac{t}{lambda_n} }-1)=it}\), a następnie skorzystamy z ciągłości funkcji eksponencjalnej.
Ponieważ \(\displaystyle{ e^z= sum_{m=0}^{ infty } frac{z^m}{m!}}\), więc
\(\displaystyle{ lambda_n(e^{i frac{t}{lambda_n} }-1)=it+ sum_{m=2}^{ infty } frac{(it)^m}{(lambda_n)^{m-1}m!}}\)
Teraz łatwo oszacować:
\(\displaystyle{ left| sum_{m=2}^{ infty } frac{(it)^m}{(lambda_n)^{m-1}m!}
ight| le sum_{m=2}^{ infty } frac{|it|^m}{(lambda_n)^{m-1}m!}le frac{|t|^2}{lambda_n} sum_{m=2}^{ infty } frac{|it|^{m-2}}{(lambda_n)^{m-2}(m-2)!}=\= frac{|t|^2}{lambda_n}expleft( frac{|t|}{lambda_n}
ight)
ightarrow 0}\)

Stąd wniosek, że \(\displaystyle{ lim_{n o infty } lambda_n(e^{i frac{t}{lambda_n} }-1)=it}\)
oraz \(\displaystyle{ lim_{n o infty } expleft( lambda_n(e^{i frac{t}{lambda_n} }-1)
ight)=exp(it)}\)

Uzasadniliśmy zatem, że \(\displaystyle{ frac{X_n}{lambda_n}}\) zbiega do \(\displaystyle{ 1}\) wg rozkładu, a zatem zachodzi też zbieżność do \(\displaystyle{ 1}\) wg prawdopodobieństwa (bo \(\displaystyle{ 1}\) jest stałą).

Teraz wystarczy się pobawić epsilonami i dostaniemy wniosek, że również
\(\displaystyle{ sqrt{ frac{lambda_n}{X_n} }}\) jest zbieżna do \(\displaystyle{ 1}\) wg prawdopodobieństwa. Tu był podobny fakt:
383075.htm
ODPOWIEDZ